Accélérateurs de Particules : Principes & Limitations - LPSC

Johann Collot Cours de l'école doctorale de physique de Grenoble et du DESA de Casablanca
Accélérateurs de particules : principes & Limitations
Année : 2006
s et s sont des fonctions qui possèdent la même périodicité que la répartition des éléments
magnétiques de la machine et qui de plus satisfont :
7.3 Matrice de transport :
d s 1
=' s=
ds s
Dans un synchrotron à fonctions séparées, les solutions de l'équation de Hill peuvent être calculées entre
l'entrée et la sortie de chaque élément par une matrice de transport :
x s 2 a b
x ' s 2 =c d x s 1
x ' s 1 =M 21 x s 1
x ' s 1 .
En notant = , 1=s 1 , 2=s 2 et =s 2−s 1 (avance de phase entre s1 et s2),
on obtient (attention
=
dans ce paragraphe n'est pas homogène à une pulsation angulaire) :
2 cos −2' 1sin 12sin
1 M 21
− 11 2' 1' 2
sin −
12 ' 1
−
2 ' 2
cos
1 .
1
cos 1' 2sin
2 Si on s'intéresse maintenant à la matrice de transport entre deux point successifs équivalents compte tenu
de la périodicité de la machine, on a : 1= 2= et ' 1=' 2=' , la matrice précédente peut être
écrite sous la forme :
−' sin
M =cos 2 sin
− 12 ' 2
2 ,
sin cos ' sin
.
ou encore :
=cos sin sin
M avec : =−'=−
−sin cos −sin '
2 , =2 ; = 12
(attention ces coefficient n'ont rien à voir avec les facteurs relativistes ) .
M est appelée la matrice de Twiss de la structure périodique concernée.
Pour qu'une machine constituée de N super sections périodiques – dont chacune est modélisée par la
matrice de Twiss M - soit stable dans le temps, il faut que
M Nk
, où k est le nombre de tours correspondant à un grand temps de vie du faisceau , ne diverge pas.
Cela implique les conditions suivantes : réelle , ∣ 1
2 Tr M∣1 et ∣i∣=1 où i propres de la matrice M.
sont les valeurs
44