Analyse et Commande des systèmes linéaires - LAAS CNRS

Analyse et Commande des systèmes linéaires
Frédéric Gouaisbaut
LAAS-CNRS
Tel : 05 61 33 63 07
email : fgouaisb@laas.fr
webpage: www.laas.fr/ ∼ fgouaisb
September 24, 2009

Présentation du Cours
Volume Horaire: 9h Cours, 9h de Tds, 12h de TPs,
Matériel sur le site http://www.laas.fr/∼ fgouaisb
Polycopié sur la résolution des EDOs,
Transparents de Cours,
Polycopié de TPs,
Polycopié de Cours.
Evaluation:
1 note de contrôle intermédiaire (Partiel),
1 note de contrôle terminal,
1 note de travaux pratiques (comprenant 1 note de contrôle QCMs type
moodle, 1 note terminale de travaux pratiques).
Contact
⋆ Responsable du Cours : Frédéric Gouaisbaut, fgouaisb@laas.fr
⋆ Responsable des TPs : Yann Labit, labit@laas.fr

Sommaire
1 Introduction à l’automatique et à la notion de systèmes.
2 Une première modélisation temporelle des systèmes linéaires.
3 Analyse temporelle des systèmes linéaires.
4 Une seconde modélisation des systèmes linéaires.
5 Analyse structurelle des systèmes linéaires.
6 Exemples de commande de systèmes bouclées.
7 Conclusion

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Part I
Analyse temporelle des systèmes linéaires

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Sommaire
1 Introduction
2 Régime transitoire
3 Les systèmes du 1 er ordre
4 Les systèmes du 2 nd ordre
5 Exemples de systèmes régulés

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Analyse temporelle
Les systèmes que nous allons étudier sont définis par un modèle liant l’entrée
et la sortie.
Analyse d’ un système
comprendre l’évolution du signal de sortie en fonction des sollicitations
de l’entrée.
Comparer les évolutions des sorties de différents systèmes.
Comparer des systèmes :
1 en terme de stabilité (le système explose t-il ?).
2 en terme de rapidité de convergence vers l’objectif.
3 en terme de qualité de convergence (oscillations de la sortie ...)
→ Définir des indices de performances communs.

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Les réponses temporelles
idée : Comparer les réponses des systèmes à une série d’entrées tests.
e(t)
Impulsion de dirac E(p) = 1
e(t)
t
Echelon unitaire e(t) = 1∀t > 0, 0 sinon E(p) = 1/p
e(t)
Parabole e(t) = t 2 ∀t > 0, 0 sinon E(p) = 2/p 3
t
t

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Indices de performances pour la réponse indicielle
y(t)
D 1
D 1
y( )
0.9
8
0.1
Tm
Tp
t
} 2, 5% de y( )
Tm : temps de montée
Tp : temps de pic
Tr : temps de réponse
: premier dépassement
Tr ou Te
8

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Définitions d’indices de performance
Réponse temporelle composée de :
1 régime transitoire.
2 régime permanent.
Nous définissons plusieurs points de référence aisément calculables ou
mesurables :
La valeur finale :
Le temps de montée :
Le temps de premier pic :
La valeur du premier pic ou premier dépassement :
Le temps de réponse :

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Régime transitoire et Régime permanent
1 La réponse transitoire du système y t (t). Celle ci correspond à la
solution de l’équation homogène où les n inconnues (provenant des
polynômes q i ) sont déterminés grâce aux conditions initiales.
2 La réponse permanente du système qui correspond à la solution
particulière de l’équation différentielle. Elle correspond en général à la
partie de la courbe lorsque t −→ ∞.
Example
Soit l’équation ẏ(t) + y(t) = 2 × u(t) = 2 × 1 avec comme condition initiale
y(0) = 0. L’équation homogène s’écrit y l (t) = Ae −t . L’équation particulière
s’écrit y(t) = 2. La constante A est calculé telle que y l (0) + y p (0) = 0 i.e.
A = −2. Le régime permanent est donc y p (t) = 2 et le régime transitoire est
y t (t) = −2e −t .
Analyser la réponse indicielle c’est donc analyser les caractéristiques du
régime permanent (y p (t) = 2) et analyser les caractéristiques du régime
transitoire (y t (t) = −e −t ou au signe près y ⋆ (t) = e −t )

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Indices de performances pour le régime permanent
Valeur finale
La valeur finale de la courbe est définie par y(+∞) = lim
t→+∞ y(t)
0.4
Reponse indicielle
0.35
0.3
Amplitude
0.25
0.2
0.15
Valeur finale
0.1
0.05
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Temps (sec)

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
Temps de montée
Le temps de montée d’un système est le temps mis par sa sortie pour passer
de 10% de sa valeur finale à 90% de sa valeur finale.
Reponse indicielle
2
1.8
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Temps de montee
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Temps (sec)

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
Temps de réponse
Le temps de réponse d’un système est le temps mis par la sortie du système
pour entrer dans la bande compris entre ±5% de sa valeur finale.
Reponse indicielle
Reponse indicielle
2
1.5
1.8
1.6
1.4
1
Amplitude
1.2
1
0.8
Amplitude
0.6
0.5
0.4
Temps de reponse
0.2
Temps de reponse
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Temps (sec)
0
0 5 10 15 20 25
Temps (sec)

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
Temps du premier pic
Le temps de premier pic est le temps mis par le système pour atteindre le
premier pic du dépassement (si celui ci a lieu ...)
la valeur du premier pic
La valeur du premier pic a plusieurs définitions reflétant différentes manières
de mesurer la valeur du dépassement maximale par rapport à la valeur finale
de y(t). Il est en général utilisé en pourcentage :
D r = y(T p) − y(∞)
y(∞)
∗ 100%

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
1.5
Reponse indicielle
Valeur du premier pic
1
Amplitude
0.5
Temps du
premier pic
0
0 5 10 15 20 25
Temps (sec)

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Modèle et Réponse d’un système du 1er ordre
Equation différentielle
a 0 y + a 1 ẏ = b 0 u ⇔ y + Tẏ = Ku
T est la constante de temps et K est le gain statique.
Réponse indicielle, échelon e 0
y(t) = e − t T x 0 + ∫ t t−τ
0
e− T K T e 0dτ
= e − t T x 0 + K(1 − e − t T )e 0
= e − t T (x 0 − Ke 0 ) + Ke 0
régime transitoire + régime permanent
Pente à l’origine
ẋ(0) = Ke 0 − x 0
T

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Tracé de la réponse indicielle
y(t)
y( )
8
5% de y( )
8
63%
Temps de réponse à 5% = 2.86T
Temps de montée de 10 à 90% = 2.2T
T 2T 3T
t
La valeur finale : Ke 0 .
Le temps de montée : 2,2T.
Le temps de premier pic :∅.
La valeur du premier pic ou premier dépassement :∅.
Le temps de réponse : t r = 3T.

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Identification de la réponse
choix d’un modèle mathématique.
Détermination des paramètres du modèle (par exemple le gain statique
K et la constante de temps T)
⇒ Identification de ces paramètres
1 Ces paramètres sont calculés par l’intermédiaire de la connaissance du
processus physique.
2 Ces paramètres sont difficilement calculables ou avec un grande
imprecision ...
⇒ Utiliser la méthode de la réponse indicielle pour calculer les paramètres
inconnues...

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Identification de la réponse
Example
Soit un système de capteur d’entrée e(t), la donnée que le capteur mesure et
de sortie y(t) la mesure du capteur. La réponse indicielle (pour une entrée
e(t) = 1) donne la courbe suivante.
4.5
yfinale=4.1
4
3.5
3
2.5
2
Calcul du temps de montée t m = 7.2sec
Calcul de la valeur finale y(∞) = 4.1sec
Modèle du système
3.27ẏ(t) + y(t) = 4.1e(t)
1.5
1
0.5
0
0 5 10 15 20 25 30
tm=7.2 sec

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Identification de la réponse
Example
Soit un système de capteur d’entrée e(t), la donnée que le capteur mesure et
de sortie y(t) la mesure du capteur. La réponse indicielle (pour une entrée
e(t) = 1) donne la courbe suivante. Nous pouvons aisément calculer son
temps de réponse t r = 4.36sec, son temps de montée t m = 3.65sec et sa
valeur finale y(∞) = 2.
2
Step Response
1.8
1.6
1.4
1.2
temps de montee
temps de reponse
valeur finale
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
reponse indicielle du systeme physique
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Time (sec)

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Calcul du modèle mathématique
Reflet du comportement physique,
même valeur finale.
même temps de réponse.
Nous choisissons un modèle simple du premier ordre.
y(∞) = Ke 0 = 2 ⇒ K = 2
t r = 3T = 4.36 et donc T = 1.463. Le modèle mathématique du capteur
sera donc :
1.463ẏ(t) + y(t) = 2e(t)

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Comparaisons entre la réponse du modèle et du procédé
Nous obtenons par ailleurs les réponses suivantes :
reponse indicielle
2
1.8
1.6
modele mathematique premier ordre
1.4
temps de reponse
Amplitude
1.2
1
temps de montee
0.8
0.6
0.4
0.2
procede reel
0
0 1 2 3 Temps (sec) 4 5 6 7

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Modèle du second ordre
Equation différentielle :
ÿ + a 1 ẏ + a 0 y = b 0 u ⇔ ÿ + 2ζω n ẏ + ω 2 ny = Kω 2 nu
Kωn
Fonction de transfert : G(p) =
2 p 2 +2ζω np+ωn
2
ω n est la pulsation naturelle (pulsation propre non amortie), ζ est le
coefficient d’amortissement, K est le gain statique.
Le comportement dépend des racines de l’équation caractéristique
(pôles du système) :
Si ζ > 1, alors pôles réels :
p 1,2 = −ζω n ± ω n
√
ζ2 − 1 = − 1 τ 1
et − 1 τ 2
si ζ = 1, alors pôle double : p = −ζω n
si ζ < 1, alors pôles complexes conjugués :
p 1,2 = −ζω n ± jω n
√
1 − ζ
2

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Réponse indicielle apériodique ζ > 1
(
y(t) = K 1 − p 2e tp 1 −p 1 e tp 2
p 1 −p 2
)u(t)
(
)
= K 1 − τ 1
τ 1 −τ 2
e − t
τ 1 + τ 2
τ 1 −τ 2
e − t
τ 2 u(t)
y(t)
y( )
8
ζ petit
ζ grand
t

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Réponse indicielle critique ζ = 1
y(t) = K ( 1 − e −ωnt − ω n te −ωnt) u(t)

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Réponse indicielle oscillante amortie |ζ < 1|
Réponse oscillante amortie
[
y(t) = K
1 − e−ωnζt
√
1 − ζ 2 sin(ω n√
1 − ζ 2 t + ϕ)
]
u(t)
√
1−ζ 2
avec ϕ = arctg
ζ
.
√
Pulsation propre : ω p = ω n 1 − ζ 2 Période des oscillation : T = 2π
ω p
Enveloppe d’amortissement donnée par e −ωnt
Temps de réponse à 5% : T e ≃ 3
ζω n
Temps de montée : T m = π
2ω p
= T 4
√ ζπ
Premier dépassement : D 1 = 100.e − 1−ζ 2 (en %)
intervient à T 2
Coefficient de surtension lorsque ζ < √ 1 2
Pulsation de résonance : ω r = √ 1 − 2ζ 2 ω n
Coefficient de surtention : Q =
1
2ζ √ 1−ζ 2

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Réponse indicielle d’un modèle d’ordre 2
y(t)
D 1
-
e
ζω t
n
y( )
8
} 5% de y( )
8
T
t
Tm
Tp
Te

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Evolution Réponse indicielle amortissement ζ
Plus ζ diminue, plus les dépassements augmentent
réponse indicielle
1.6
1.4
zeta=0.2
gain statique : 1
pulsation naturelle : 1
1.2
1
amplitude
0.8
0.6
0.4
zeta=0.5
zeta=0.7
0.2
zeta=1
zeta=1.5
0
0 5 10 15 20 25 30
temps

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Evolution Réponse indicielle pulsation ω n
1.8
1.6
ω = 0.5
n
ω = 0.4
n
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
ω n= 0.1
ω = 0.2
n
ω = 0.3
n
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Asservissement proportionnel et intégral
Example (asservissement de position)
On désire asservir la position d’un petit robot. Nous commandons la vitesse
des roues et nous désirons que celui-ci progresse de y r mètres. Le modèle
liant la vitesse des roues Ω(t) et la position du robot y(t) est donné par :
ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t)
Choix d’une commande en boucle fermée: Ω(t) = k(y r (t) − y(t)) où k est
un paramètre de la commande.

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
La relation entre y r et y(t) devient alors :
ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t) = k(y r − y(t))
ẏ(t) + (30 + k)y = ky r
1 Pour une consigne de y r , le robot progresse de
k
30+k y r
2 Nous pouvons également utiliser k pour jouer sur la vitesse de
convergence car t r = 3
30+k .

Introduction Régime transitoire Σ du 1 er ordre Σ du 2 nd ordre Exemples
Example (asservissement de position)
On choisit une commande de la forme Ω(t) = k
paramètre de la commande.
L’équation liant la consigne et la sortie devient donc :
En dérivant nous obtenons :
ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t) = k
∫ t
0
∫ t
0
(y r − y(t)dt) où k est un
(y r − y(t)dt)
ÿ(t) + 30ẏ(t) + ky(t) = ky r
C’est une équation du second ordre, ces paramètres canoniques sont
K statique = 1, ω n = k,ζ = 15
k .
1 Pour une consigne de y r , le robot progresse de y r
2 Nous pouvons également utiliser k pour faire respecter d’autre
spécifications...