Les nombres relatifs, repérages

Les nombres relatifs,
repérages
chapitre
5
Te souviens-tu ?
1.B. ; 2.B et C. ; 3.B. ; 4.B. ; 5.A.
Activités
1 Les nombres relatifs
a) À sa manière, chacun a raison. Cette soustraction n’a de sens que dans certaines
situations. Dans l’exemple de Fred, la température correspondante est –2°C.
b) Demain, il fera – 4°C. Après-demain, il fera + 1°C.
c) Thermomètres, ascenseurs, frises chronologiques, profondeurs (par rapport au
niveau de la mer).
2 Droite graduée
1. Construire une droite graduée
-1,2 -1 -0,6 -0,2 0 0,4
1 1,2
2. Utiliser une droite graduée
a) Londres : + 3,9 °C ; Helsinki : – 1,8 °C ; Stockholm : – 3,5 °C
b)
M
-8,7
N
-1,8
0 1 7
T
c) Il fait le moins froid à Tokyo.
– 8,7 < 3,5
– 1,8 > – 6,1
– 3,5 > – 8,7
d) Un nombre positif est supérieur à un nombre négatif.
Quand on compare deux nombre négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro.
48

3 Additionner des nombres relatifs
a)
Matin Après-midi Bilan
1 er jour + 600 m – 290 m (+ 600) + (– 290) = + 310 m
2 e jour – 450 m + 300 m – 150 m
3 e jour + 510 m + 380 m + 890 m
4 e jour – 300 m – 270 m – 570 m
5 e jour + 330 m – 330 m 0
b) Pour additionner deux nombre relatifs de même signe on conserve ce signe et on additionne
les parties numériques.
c) Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on repère celui qui a la
plus grande partie numérique et on garde son signe ; puis on soustrait (plus grande partie
numérique) – (plus petite partie numérique).
d) Le 5 e jour, Clara est autant montée que descendue. + 330 et – 330 sont opposés.
Lorsqu’on additionne deux nombres relatifs opposés le résultat est égal à zéro.
e) (+ 15) + (– 9) = + 6 (– 7,5) + (– 6) = – 13,5
(– 2,3) + (+ 0,9) = – 1,4 6,4 + (– 8,2) = – 1,8
9,8 + (+ 6,4) = + 16,2 (– 1,36) + (+ 1,36) = 0
4 Soustraire les nombres relatifs
1. Il fait froid !
a) (– 8) – 5 = – 13
b) 2 – 3 = – 1
4 – 8,5 = – 4,5
c) (– 8) + (– 5) = – 13. On trouve le même résultat qu’avec le calcul précédent.
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.
d) Oui.
e) – 7 – (– 3) = −7 + (+ 3) = −4
10 – (– 8,5) = 10 + (+ 8,5) = +18,5
f) Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
2. Distance entre deux points
a)
M
-8,7
N
-1,8
0 1 7
T
b) La différence de température entre Tokyo et New York est de 8,8 °C.
c) (+ 7) – (– 1,8) = (+ 7) + (+ 1,8) = 8,8. Ce résultat correspond à la distance entre les
points N et T (la différence de température entre les deux villes).
49

d)
Tokyo-Montréal New York-Montréal
Lecture sur la droite graduée 15,7 6,9
Calcul
(+ 7) – (–8,7) = (– 1,8) – (– 8,7) =
(+ 7) + (+ 8,7) = 15 (– 1,8) + (+ 8,7) = 6,9
5 Repérage dans le plan
a) Non car il manque l’ordonnée du point (il y a plusieurs points sur la carte d’abscisse +3).
b) Non car il manque l’abscisse du point.
c) Non car on ne sait pas si le premier nombre correspond à l’abscisse ou à l’ordonnée
ce qui fait deux possibilités (sauf si l’on sait que le premier nombre correspond toujours
à l’abscisse).
d) Oui. Un seul point de la carte correspond aux coordonnées.
e) Pour placer un point dans un repère, il faut deux nombres : son abscisse et son ordonnée.
f) B (+3 ; –1) ; F (–5 ; +3) ; D (–1 ; –5)
Exercices fondamentaux
1
2
3
4
5
Calcul mental
a) –14 b) 32 c) 31 d) 9,1
a) 14 b) –7 c) –22 d) 11
a) 9,9 b) – 1,2 c) – 22,2 d) 5,9
a) – 8,3 b) 9 c) – 3,3 d) 5,5
a) 43,87 b) – 4,2 c ) – 2,4 d) – 14,8
Vocabulaire
6 – 6,7 est un nombre relatif négatif.
6,7 est sa partie numérique et son signe est –.
b) – 0,9 et + 0,9 sont des nombres opposés.
c) – 4 est un nombre négatif dont la partie
numérique est 4. Son opposé est + 4.
d) Deux nombres relatifs opposés ont la
même partie numérique mais n’ont pas le
même signe.
7 a) O est l’origine de la droite graduée.
b) Le point A a pour abscisse + 2.
c) Le point B a pour abscisse –3.
d) – 2 et + 2 sont opposés, les points A et C
sont symétriques par rapport à O.
8 a) (– 2 ; 6,3) sont les coordonnées du
point A.
b) – 2 est l’abscisse du point A.
c) + 6,3 est l’ordonnée du point A.
d) Sur le repère, on lit – 2 sur l’axe des
abscisses et + 6,3 sur l’axe des ordonnées.
9 a) (– 19) + (– 6) = – 25
b) (+ 4) – (– 9) = 13
c) (– 9) + (– 8) = –17
d) (+ 4) + ((– 3) – (+ 5)) = – 4
Les nombres relatifs
10 a) – 3 200 : invention de l’écriture.
– 490 : bataille de Marathon.
– 52 : bataille de Gergovie.
b) Dans les océans : – 1 000 m : limite audelà
de laquelle la lumière du jour n’est
plus perceptible.
50

– 11 035 m : profondeur de la fosse des
Mariannes.
Température la plus froide enregistrée sur
Terre : – 92 °C à Vostok en Antarctique le
28/07/1983.
c) Au zéro absolu, c’est-à-dire la température
la plus froide qui existe.
11 a) Ce n’est pas possible.
b) 10 – 17 = – 7. J’ai un débit de 7 € sur
mon compte bancaire.
c) 10 – 17 = – 7. Il fait alors – 7 °C.
d) Si on considère que l’instant 0
correspond au décollage, on peut écrire
10 – 17 = – 7 c’est-à-dire que 7 heures avant
le décollage les problèmes étaient nombreux.
e) Ce n’est pas possible.
17
a) et c)
b) I(0) ; M(– 1) ; R(– 4,5) ; Q(3)
d) 3 > 2 > 1,5 > 0> –1 > – 3,3 > – 4,5
18
B
-4,2
d) O est le milieu du segment [AA’].
e) O est également le milieu de [BB’].
19
R E M I U P Q
-4,5 -3,3 -1 0 1 1,5 2
A'
O
-3 0 1 3 4,2
A
3
B'
12
Le nombre cherché est – 9,26.
B'
D' C'
A'
-6,5 -3,5-3 -1 0 1 3,5 6,5
A
C D
B
13 a) A(+ 1) ; B(+ 4) ; C(– 6) ; D(– 2) ;
E(+ 3) ; F(+ 6) ; G(– 0,5).
b) Les points C et F ont des abscisses
opposées.
14 A (+ 1) ; B (+ 0,5) ; C (– 1) ;
D(– 0,5) ; E (– 0,75) ; F (+ 1,25).
15
Droite graduée
B
C
-0,5 -0,4 -0,35 -0,3 -0,2
A
c) 1 < 3 < 3,5 < 6,5
d) A’(– 1) ; B’(– 6,5) ; C’(– 3) ; D’(– 3,5)
e) – 6,5 < – 3,5 < –3 < – 1
Les abscisses des symétriques sont rangées
dans l’ordre inverse de celle des points.
20
D
a)
B
O
-5 -3 0 1 2
b) – 5 < – 3 < 0 < 2 < 3,4
21 Les affirmations de Mo sont fausses :
– 6,3 < 0,7 et – 6,3 < – 0,7.
A
C
3,4
16
B
C
O
D
E
A
22 a) 2,5 > 2,17 b) 3,57 > – 3,6
c) – 13,5 < – 0,1 d) 0,003 > – 475,2
e) – 36,1 = – 36,10 f) –4 < 4
-3-2,5 0 4
c) D(+ 0,5).
d) E(+ 2,5). L’abscisse de E est l’opposée
de celle de C.
23 a) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
b) –5,–4,–3,–2,–1,0,1
c) – 18, – 17, – 16, – 15, – 14, – 13, – 12,
– 11, – 10
d) On ne peut pas en trouver.
51

24 a) 3,7 < 3,8 < 3,91
b) –5 < –4 < –1
c) – 0,6 < 0 < 0,5
d) – 3,2 < – 3,15 < – 3,1
e) – 0,1 < – 0,05 < 0
f) – 3,21 < – 3,205 < – 3,2
25 a) 12 < 12,7 < 13
b) 0 < 0,107 < 1
c) – 4 < – 3,8 < –3
d) – 1 < – 0,58 < 0
e) 999 < 999,7 < 1000
f) – 1000 < – 999,7 < – 999
26
– 1 000 < – 13,5 < – 3,19 < 0,05 < 1 < 97
27 – 5,55 < – 5,5 < – 0,55 < – 0,5
< 0,55 < 5,5 < 55
28 437,6 > 1,3175 > – 437,6 > – 695 >
– 4 837
29 a) 777,5 > 775,7 > 757,7 > 75,7 >
57,7 > – 57,7 > – 75,7 > – 757,7 >
– 775,7 > – 777,5
b) Les opposés sont rangés dans l’ordre
inverse des nombres.
Additionner les relatifs
30 a) 6,3 > 4,7
b) A = – 1,6
c) B = 5,4 ; C = – 0,89 ; D = 0
31 A positif
B négatif
C négatif
D négatif
E négatif
F = 0
32 A = –13
B est juste.
C = 5,5
D = –41
E = 1,1
33 A = – 153 ; B = 14 ; C = – 1 122
D = – 347 ; E = – 1 035 ; F = 0
34 A = – 20,3 ; B = 12,91 ;
C = – 0,89 ; D = – 0,11 ;
E = 15,83 ; F = 6
35 a) – 8,5
b) – 12
c) 22
d) – 4,68
e) 21,4
f) – 4,5
36 A = –9 + 10,3 = 1,3
B = – 5,9
C = (– 16) + 19 = 3
D = – 14,3 + 14,3 = 0
37 a) – 63 + 105 = 42
Le solde du compte est de 42 €.
b) –2 + 7 = 5
Mo habite au 5 e étage.
c) – 490 + 11 = – 480.
La bataille a eu lieu en 480 avant J.-C.
38 – 45 + 39 = –6
Le premier palier a lieu a 6 mètres de profondeur.
–6 + 3 = –3
Le second palier a lieu à 3 mètres de profondeur.
39 a) –18
b) (+ 13) + (+ 5) = 18
c) 9,5
d) (– 26,5) + (17) = – 9,5
e) La somme des opposés est égale à l’opposé
de la somme.
40 a) D/J/E/R/B/A : + 2
b) DJERBA
41
a) En – 44 avant J.-C.
b) En – 31 avant J.-C.
c) En – 27 avant J.-C.
d) Il est mort à 76 ans.
52

Soustraire les relatifs
49
a) 26 b) –6,3 c) 27,5 d) 8,9
42 A = (– 7) – (+ 5) = (– 7) + (– 5) = –12
B = – 13,5 – (– 8) = – 13,5 + (+ 8) = – 5,5
C = 10 – 19 = 10 + (–19) = –9
D = (– 1,3) – (– 14,9) = (– 1,3) + (+ 14,9)
= 13,6
E = 16,5 – (– 17,6) = 16,5 + (+ 17,6) = 34,1
43 Le calcul de Clara est faux car elle a
pris les opposés des deux termes au lieu de
prendre l’opposé du nombre que l’on soustrait.
(+ 6) – (– 13,9) = (+ 6) + (+ 13,9) = 19,9
44 A = – 6 – (– 15) = –6 + (+ 15) = 9
B = 6 – 11 = –5
C est juste.
D = – 5 – (– 9,3) = –5 + (+ 9,3) = 4,3
45 a) A = – 6 – 7 = –6 +( – 7) = –13
B = – 7 + 5 + (– 3) = –10 + 5 = –5
C = –13 + (+ 8,3) – (– 5)
= – 13 + (+ 8,3) + (+ 5) = 0,3
D = – 13 + 8 – 9 = –22 + 8 = –14
46 a) 6 + (+ 15) = 21
b) –17 + (+ 6) = –11
c) –23 + (– 15) = –38
d) 13,9 – 6,7 = 7,2
e) 2,17 – 4,59 = – 2,42
f) – 6,5 – 13,36 = –19,86
47 a) 13 – 9 + (+ 7) = 11
b) –6 + (+ 9,3) – 10,1 = – 6,8
c) –6 + (+ 4,5) + (+ 1,5) = 0
d) – 19,63
e) 46,3 + (+ 193,18) = 239,48
f) –6,13 + (+ 7,701) = 1,571
48 a) – 1 492 + 1 789 + (+ 1 515) = 1 812
b) –373,15 + 37 = – 336,15
c) – 38,9
d) – 15 + (+ 23) + (– 5) – 3 = 0
e) (– 6,3) – (– 8,19) = (– 6,3) + (+ 8,19) = 1,89
f) 414,5 – (– 10,4) = 414,5 + (+ 10,4) = 424,9
50 a) 3 – 8 = – 5. Ce matin, il fait – 5 °C.
b) –14 – 5 = – 19. Il se trouve à – 19 mètres.
c) – 323 – 9 = – 332. Alexandre a commencé
ses conquêtes en 332 avant J.-C.
51 a) A = 12,8 – 7 = 5,8
b) A = 0 – 7 = –7
c) A = –5,3 – 7 = – 12,3
52 a) B = 12,9 – (–5) + 2,7
= 12,9 + (+ 5) + 2,7 = 20,6
b) B = –3 – 5,4 + 2,7 = – 5,7
c) B = 5 – 7,7 + 2,7 = 0
53 Brest : 16 – 5,8 = 10,2
Vienne : 19,9 – (– 1,4) = 21,3
Moscou : 19 – (– 9,9) = 28,9
Bamako : 32,4 – 25,4 = 7
Coppermine : 9,3 – (– 30,1) = 39,4
54
D
a)
- 5,5 -1 0 1 3,5 6
b) AB = 2,5 ; BC = 4,5 ; CD = 4,5
AC = 7 ; BD = 9
c) AB = 6 – 3,5 = 2,5
BC = 3,5 – (– 1) = 4,5
CD = (– 1) – (– 5,5) = 4,5
AC = 6 – (– 1) = 7
BD = 3,5 – (– 5,5) = 9
55 AB = 35 – (– 3,4) = 38,4
BC = –3,4 – (– 17,3) = 13,9
AC = 35 – (– 17,3) = 52,3
56
F
- 3,8
C
D
a) D semble être le milieu de [EF].
B
O
E
A
- 1,7 0 0,4 1
53

) La distance ED est égale à 0,4 – (– 1,7)
= 2,1. La distance FD est égale à – 1,7 –
(– 3,8) = 2,1. ED = FD donc D est bien le
milieu de [EF].
57 a) I(– 4,8) et J(4,8)
b) 1,4 + 4 = 5,4. E(5,4)
1,4 – 4 = –2,6. F(– 2,6)
c) –3,7 + 1,8 = –1,9. G(– 1,9)
–3,7 – 1,8 = – 5,5. H(– 5,5)
d) F(–2; 1). Les coordonnées de F sont les
opposées de celles de C.
60
61
62
a) et b)
LOSANGE
B( –3; –2)
Repérage dans le plan
58 a) O(0;0) ; I(1;0) ; J(0;1)
A(1;4) ; B(3;0) ; C(2;–3) ; D(0;–2) ;
E(–3,5; –2,5) ; F(–3;2)
b) Les points O, I et B ont une ordonnée
nulle : ils sont sur l’axe des abscisses.
Le point D a pour abscisse 0 : il est sur
l’axe des ordonnées.
Le point C a pour coordonnées (2; –3).
Le point F a pour coordonnées (–3; 2).
C
-3
-2
D
c) ABCD est un parallélogramme.
d)
J
0
-2
-3
I
B
2 A
59
D
-5
-4,5
B
F
3
2,5
J
I
E
2
0
-1 C
4
F
E
C
D
J
I
0 A
G
B
H
-3
A
e) E(–4;0) ; F(–5;–2) ; G(0;–2) ; H(–1;–4)
Qui dit vrai ?
Dimitri a tort.
Exercices d’approfondissement
63 Vrai ou faux ?
a) Vrai. b) Vrai.
c) Faux. d) Faux.
64 Où mettre les parenthèses ?
a) A = 4,4
b) – 6,3 + 4,2 – (0,3 + (– 2))
c) – (5 + 4,3) + (– 1,3) + 4,7
54

65 Chaîne de calculs
a) 3,9 8,1 2 7 3,9
b) Les nombres à chaque extrémité sont
les mêmes.
c) En effet, on pouvait prévoir ce résultat
car :
4,2 – 6,1 – (– 5) –3,1 = 4,2 – 6,1 + (+ 5) – 3,1 = 0
66 La devinette de Dimitri
Le nombre cherché est – 3,6.
67
Le bon découpage
–9 2
–10
1,3
4,5 – 3,2
–3
–1 –7,7
68 Carrés magiques
a) Ce carré est magique puisque chaque
somme vaut 0,9.
b)
1 – 3 – 4
–7 –2 3
0 – 1 – 5
Chaque somme vaut – 6.
69 Le mot mystère
x O = 0
x E = –4
x L = 1,9
x I = – 0,5
x R = – 2,6
c) LOIRE
E
R
IO
L
-4 -2,6 -0,50 1 1,9
b) Cela permet d’abaisser le point de fusion
de l’eau et d’éviter que l’eau gèle l’hiver.
72 Duel Barber–Klüft
a)
Épreuve Total des points Écart
Barber Klüft
100 m haies 1 133 1 096 37
Hauteur 2 252 2 099 153
Poids 2 993 2 961 32
200 m 3 973 3 971 2
Longueur 5 062 5 100 – 38
Javelot 5 888 5 906 – 18
800 m 6 824 6 887 – 63
b) L’écart le plus grand s’est produit lors du
saut en hauteur. Barber était alors en tête.
73 Tournoi des six nations
Italie : Points marqués : 106
Points encaissés : 228
Différence : – 122
Écosse : Points marqués : 95
Points encaissés : 132
Différence : – 37
C’est l’Écosse qui se place devant l’Italie.
74 Qui se maintient ?
a) L’équipe Legendre compte 28 points.
L’équipe Al Kashi compte 29 points et
l’équipe Bernoulli en compte 24.
Par conséquent, c’est l’équipe Al Kashi qui
se maintient.
b) L’équipe Legendre compte alors
27 points et une différence de buts de – 17.
L’équipe Al Kashi compte 27 points et une
différence de buts de – 20.
L’équipe Bernoulli compte 27 points et
une différence de buts de – 15.
Par conséquent, c’est l’équipe Bernoulli
qui se maintient.
70 Le retour du mot mystère !
T.H.A.L.E.S
75
a)
20
15
Courbe de température
Résous des problèmes
71 Un peu de chimie
a) – 259 < – 218 < – 207 < – 112 < 0 < 801
10
5
0
J F M A M J J A S O N D
-5
-10
b) 18 – (– 8) = 18 + (+ 8) = 26
55

L’amplitude thermique de la ville est de
26 °C.
c) Les étés sont chauds et les hivers froids.
L’amplitude thermique est importante.
76 Fuseaux horaires
a) 13 – 5 = 8. Il est 8 heures à New York.
13 + 8 = 21. Il est 21 heures à Pékin.
b) Il est midi en Alaska.
c) Ce n’est pas une bonne idée car il est
6 heures du matin au Brésil.
d) Il est 12 heures au Canada.
e) Mo doit programmer son magnétoscope
de 9 h 30 à 11 h 30.
Énigme de fin de chapitre
Fred a gagné 26 €.
Dimitri a dépensé 10 €.
56