1. Divisibilité dans - Didier

COURS
1. Divisibilité dans
A ■ Définition et premières remarques
On note = {...,– 3, – 2, – 1, 0123... , , , , } l’ensemble des entiers relatifs
et = { 0123... , , , , } celui des entiers naturels.
Notation : ba
signifie "b divise a".
Définition 1 ➜
Un diviseur commun à a
et b est un entier relatif
qui divise à la fois a et b.
Soit a et b deux entiers relatifs.
S’il existe un entier relatif k tel que a=
kb, on dit que a est un multiple
de b.
Si de plus b ≠ 0, on dit que b est un diviseur de a.
Dans ce cas, on dit également que a est divisible par b ou que b divise a.
Exemples :
• 63 est multiple de – 7 car 63= (–
7) × (–
9).
On peut aussi dire que – 7
divise 63.
• L’ensemble des multiples de 3 est {..., – 9, – 6, – 3, 0, 3, 6, 9, ...}, noté 3.
• Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18 et leurs opposés, ceux de 12
sont 1, 2, 3, 6, 12 et leurs opposés.
Les diviseurs communs à 18 et 12 sont 1, 2, 3, 6 et leurs opposés.
Remarques :
• 0 est multiple de tout entier, mais 0 a un seul multiple : lui-même.
• Tout entier non nul n a pour diviseurs 1, n, – 1 et – n.
Il a un nombre fini de diviseurs tous compris entre – n et n.
• En revanche un entier non nul a une infinité de multiples.
Définition 2 ➜
Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leurs seuls diviseurs
communs sont 1 et – 1.
Exemple :
12 et 25 sont premiers entre eux.
B ■ Transitivité
Propriété 1 ➜
Soit a, b et c des entiers relatifs tels que b ≠ 0 et c ≠ 0.
Si c divise b et b divise a, alors c divise a.
On peut aussi énoncer que si a est multiple de b et b multiple de c, alors
a est multiple de c.
Exemple :
Tout multiple de 12 est un multiple de 4 (la réciproque est fausse !).
C ■ Combinaison linéaire
Propriété 2 ➜
Soit a, b et c des entiers relatifs tels que c ≠ 0.
Si c est un diviseur commun à a et b, alors c divise a+ b et a–
b.
Plus généralement, c divise ma + nb pour tous m et n entiers relatifs.
On dira que c divise toute combinaison linéaire entière de a et b.
10
➥ chapitre 1 Divisibilité dans

COURS
➜ DÉMONSTRATIONS
■ Propriété 1 : transitivité
Soit b ≠ 0 et c ≠ 0.
Si c divise b et b divise a, c’est qu’il existe k et k′ entiers tels que b= kc, a=
k′b.
Alors a= k′ ( kc) = ( k′k)c
où k′k est un entier.
Ceci exprime bien que a est un multiple de c.
Comme c ≠ 0, on peut aussi dire que c divise a.
■ Propriété 2 : combinaison linéaire
Si l’entier c, non nul, divise a et b, il existe deux entiers a′ et b′ tels que : a= a′c et b=
b′c, donc pour
tous entiers m et n, ma + bn = ma′c+
nb′c soit ma + nb = ( ma′ + nb′ )c, avec ma′ + nb′ entier et c ≠ 0.
Par suite c divise ma + nb.
En prenant m = 1 et n = 1 ou – 1, on obtient en particulier que c divise a+ b et a–
b.
➜ APPLICATIONS
1 Trouver les entiers n pour lesquels la fraction
n + 17
-------------- est entière.
n + 4
On a n + 17 = n + 4+
13 donc, pour n ≠ – 4:
n -------------- + 17
.
n + 4
1 13
= + n ----------- + 4
Pour que la fraction soit un entier, il faut et suffit
que n + 4 soit un diviseur de 13. Or 13 possède
4 diviseurs : – 13, – 1, 1, 13.
Les valeurs de n correspondantes sont :
– 17, – 5, – 3, 9.
2 Montrer que pour tout n ≠ – 7, la fraction
2n + 15
------------------ est irréductible.
n + 7
Rappel : une fraction est irréductible quand son
numérateur et son dénominateur sont premiers
entre eux.
La fraction est irréductible si les entiers 2n + 15
et n + 7 sont premiers entre eux.
Soit d un diviseur commun de 2n + 15 et n + 7.
Alors d divise toute combinaison linéaire entière
de 2n + 15 et n + 7, en particulier
( 2n + 15) – 2( n + 7)
= 1.
Donc d = 1 ou – 1.
Les entiers 2n + 15 et n + 7 sont premiers entre
eux et la fraction est irréductible pour tout
n ≠ – 7.
3 Déterminer des entiers naturels a et b tels que
a 2 – 4b 2 = 20.
La relation s’écrit ( a – 2b) ( a + 2b) = 20. Les
deux entiers a – 2b et a + 2b forment un couple
de diviseurs positifs de 20.
Décomposons 20 en un produit de deux entiers
naturels :
20 = 1× 20 = 2× 10 = 4×
5.
Il y a six couples possibles pour ( a – 2b ; a + 2b) :
( 1; 20), ( 20 ; 1), ( 2; 10), ( 10 ; 2), ( 4 ; 5)
ou
( 5; 4).
Comme a – 2b a + 2b, il n’y a en fait que
3 possibilités :
⎧a
– 2b = 1 ⎧a – 2b = 2 ⎧a – 2b = 4
⎨
ou ⎨
ou ⎨
⎩a
+ 2b = 20 ⎩a
+ 2b = 10 ⎩a
+ 2b = 5.
Le premier et le dernier système conduisent à des
valeurs de a et b qui ne sont pas entières. Seul le
second système fournit une solution :
a = 6 et b = 2.
Remarque : On étudie ici tous les cas possibles.
C’est la méthode exhaustive souvent utilisée en
arithmétique.
On aurait en fait pu éviter de résoudre le premier
et le dernier système en remarquant que la
somme ( a + 2b) + ( a – 2b)
= 2a doit être paire ;
ce n’est le cas ni du premier ni du dernier système,
qui ne peuvent donc pas donner de solution.
chapitre 1 Divisibilité dans ➥
11

COURS
2. La division euclidienne
A ■ Division euclidienne dans
THÉORÈME ET DÉFINITION 1➜
a b
r q
Soit a et b deux entiers naturels, b étant non nul.
Il existe un unique couple ( qr , ) d’entiers naturels tels que
a= bq+
r avec 0 r<
b.
On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste dans
la division euclidienne de a par b.
Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs
de b.
+ r
+ b
0 b 2b ... qb
a
(q + 1) b
Attention : Il y a de multiples écritures de a sous la forme b×
q+
r mais
une seule est la relation de la division euclidienne de a par b.
Par exemple 103 = 13 × 7 + 12 mais on a aussi 103 = 13 × 6 + 25.
Seule l’égalité 103 = 13 × 7 + 12 est la relation de la division euclidienne
de 103 par 13 car 0
12<
13.
Exemples :
• Dans notre système décimal, le chiffre des unités d’un nombre est le reste
de la division de ce nombre par 10.
• Pour tout entier n, n > 1, n 2 + 2n + 2 = ( n + 1) 2 + 1, où 0
1<
n + 1,
donc le quotient et le reste de la division euclidienne de n 2 + 2n + 1 par
n + 1 sont respectivement q = n + 1 et r = 1.
Conséquences immédiates
de la définition➜
• Dans la division de a par b, il n’y a que b restes possibles :
0, 1, 2 , …,
b – 1.
• b divise a si et seulement si le reste dans la division de a par b est nul.
+ 4
+ 7
– 21 – 17 – 14
B ■ Extension de la notion à
La définition s’étend aisément au cas où a et b sont des entiers relatifs,
b ≠ 0. En encadrant de même a par deux multiples consécutifs de b, on
montre qu’il existe un unique couple ( qr , ) avec q ∈ , r ∈ tel que
a= bq+
r et 0 r<
b .
Exemple : Divisons – 17 par – 7 : on encadre – 17 par
deux multiples consécutifs de – 7, à savoir – 21 et – 14 ;
on a alors
– 17 = – 21+ 4= (–
7) × 3 + 4 avec 0
4<
– 7 .
Dans la division de – 17 par – 7, le quotient est 3 et le
reste 4.
Application : Tout entier relatif admet pour reste 0, 1 ou 2 dans la division
par 3, donc s’écrit sous l’une des trois formes 3q, 3q + 1 ou 3q + 2
avec q ∈ .
12
➥ chapitre 1 Divisibilité dans

➜ DÉMONSTRATIONS
■ Théorème de la division euclidienne dans
COURS
1. Existence de q et r
• Premier cas : Si 0 a<
b, le couple ( qr , ) = ( 0,
a)
convient.
• Second cas : Supposons maintenant a
b ; a et b sont alors deux entiers naturels strictement positifs.
Soit M l’ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a. L’entier
Dans , une partie non
2b× a appartient à M ( 2b×
a est un multiple de b strictement supérieur à vide admet un plus petit
a puisque b 1 et a ≠ 0 ) donc M est non vide. M admet donc un plus petit élément (propriété
élément, c’est-à-dire un multiple de b, strictement supérieur à a, tel que le admise).
multiple précédent soit inférieur ou égal à a. Il existe donc un entier q tel que
qb a < ( q + 1)b.
Comme b a, on a b a< ( q+
1)b
et donc 1 < q + 1 d’où 0 < q. On sait donc que q est un entier naturel.
Posons alors r=
a–
qb. Comme a, b et q sont des entiers, r est un entier.
De qb a, on déduit que r 0 donc r est un entier naturel. De a< ( q+
1)b,
on déduit que r<
b.
On a donc trouvé deux entiers naturels q et r tels que a= bq+
r avec 0 r<
b.
Conclusion : dans tous les cas, il existe un couple ( qr , ) d’entiers naturels tels que a= bq+
r, 0 r<
b.
2. Unicité de q et r
Supposons qu’il existe deux couples d’entiers ( qr , ) et ( q′ , r′ ) tels que :
a= bq+ r= bq′ + r′ (1), avec r et r′ tels que 0 r<
b et 0 r′ < b (2).
Montrons que ces couples sont en fait les mêmes.
De (1), on déduit que bq ( – q′ ) = r′ – r, avec q– q′ entier : r′ – r est un multiple de b.
De (2), on déduit que – b < – r 0 d’où par addition avec 0 r′ < b : – b < r′ – r < b.
Donc r′ – r est un multiple de b strictement compris entre – b et b. Il n’y en a qu’un, c’est 0. Par suite r=
r′.
En reportant dans (1), on obtient bq + r = bq′ + r d’où q= q′ car b ≠ 0. Le couple ( qr , ) est donc unique.
➜ EN PRATIQUE
Avec une calculatrice • Calcul du quotient et du reste de la division euclidienne de a par b, b > 0.
On calcule E( a⁄
b) où E( x)
désigne la Certains modèles disposent de fonctions « reste » et
partie entière de x, puis r=
a–
bq, ce qui « quotient » ; sur TI89 ou TI92, on trouve dans le catalogue
permet une programmation aisée. Ceci est les fonctions int et mod qui donnent quotient et reste.
un programme sur TI82 :
PROGRAM:DIVISEUC
:Prompt A, B
:Int(A/B) →Q
:A–B*Q →R
:Disp "Q= ",Q
:Disp "R= ",R
➜ APPLICATION
59
Déterminer a, b et c entiers tels que (1) : ----- a b -- c
= + + ---- , avec 0 b < 3, 0 c < 3.
3
3 2
L’égalité (1) s’écrit aussi 59 = 9a + 3b+ c= 33a ( + b) + c. Ayant 0 c < 3, cette relation est celle de la
division euclidienne de 59 par 3 avec pour reste c et quotient 3a+ b. D’où c = 2 et 3a+ b=
19.
À nouveau, l’égalité 19 = 3a+
b avec 0 b < 3 est celle de la division euclidienne de 19 par 3, avec pour
reste b et quotient a. D’où b = 1 et a = 6.
3 2
chapitre 1 Divisibilité dans ➥
13

COURS
3. Les congruences
A ■ Définition
Propriété et définition 3
Notation :On note alors
a ≡ b( c)
ou a≡
b modulo c,
ou bien sûr b ≡ a( c)
ou
b≡
a modulo c.
C’est en 1801 que
C.F. Gauss a introduit
la notion de congruence
et le symbole ≡ .
Soit c un entier relatif non nul. Deux entiers relatifs a et b ont même
reste dans la division par c si et seulement si a–
b est multiple de c.
Dans ce cas, on dit que a et b sont congrus modulo c.
Il est équivalent de dire que a est congru à b ou que b est congru à a
modulo c.
Exemples :
Sur la droite réelle, on a repéré en bleu des multiples de 3 et en rouge des
nombres ayant tous le même reste 2 dans la division par 3 :
– 4
+ 2
– 3 – 1
+ 2
0 2
3 5
• 11 ≡ 5( 3),
11 ≡ – 4( 3),
11 ≡ 11( 3),
11 ≡ 2( 3)
.
• 25 705 ≡ 10 585( 10)
car 25 705 et 10585 ont même chiffre des unités 5.
+ 2
+ 2
6 8
+ 2
9 11
B ■ Propriétés
Propriété 4 ➜
Transitivité
Soit a, a′, a″ et c des entiers relatifs avec c ≠ 0.
Si a ≡ a′ ( c)
et a′ ≡ a″ ( c)
alors a≡
a″ ( c).
Remarques : Si a et b sont des entiers relatifs, c ∈ * :
• a ≡ b( c)
est équivalent à a ≡ b( – c)
car c et – c ont les mêmes multiples.
• a est un multiple de c si et seulement si a ≡ 0( c).
• Si r est le reste dans la division euclidienne de a par c, a≡
r( c).
En revanche, une relation a ≡ r( c)
ne permet de conclure que r est le
reste dans la division de a par c que dans le cas où 0 r<
c.
• Les nombres congrus à b modulo c sont les entiers de la forme b+
kc,
k ∈ . Par exemple, les nombres congrus à 1 modulo 2 sont les nombres
de la forme 1+ 2k, k ∈ , c’est-à-dire les nombres impairs.
Propriété 5 ➜
Congruences
et opérations
Soit a, b, a′, b′ et c des entiers relatifs avec c ≠ 0.
Si a ≡ b( c)
et a′ ≡ b′ ( c),
alors : a+ a′ ≡ b+
b′ ( c)
et a– a′ ≡ b–
b′ ( c) ;
aa′ ≡ bb′ ( c) ;
a n ≡ b n ( c)
pour tout n ∈ *.
On peut donc ajouter ou multiplier membre à membre deux congruences
modulo c. On dit que la relation de congruence modulo c est compatible
avec l’addition et la multiplication des entiers relatifs.
Attention : On ne peut pas simplifier une congruence comme une
égalité :
2a ≡ 2b( c)
n’implique pas que a≡
b( c).
Par exemple, 16 ≡ 20( 4)
mais 8 et 10 ne sont pas congrus modulo 4.
14
➥ chapitre 1 Divisibilité dans

COURS
➜ DÉMONSTRATIONS
■ Propriété et définition 3
Écrivons les relations des divisions euclidiennes
de a et b par c :
a= cq+
r et b=
cq′ + r′,
où q, q′, r et r′ sont des entiers avec 0 r<
c
et 0 r′ < c .
Par soustraction :
a– b= cq + r – ( cq′ + r′ ) = cq ( – q′ ) + r–
r′.
• Supposons que r= r′ : alors a– b=
cq ( – q′ ),
avec q– q′ entier : a–
b est un multiple de c.
• Réciproquement, supposons a–
b multiple
de c. Alors c | a– b. Or c | c( q–
q′ ), donc
c | a– b–
cq ( – q′ ) par propriété des combinaisons
linéaires, c’est-à-dire c | r– r′ : r–
r′ est
multiple de c.
Mais 0 r<
c (1) et 0 r′ < c , donc
– c < – r′ 0 (2). En ajoutant (1) et (2) :
– c < r– r′ < c . Or le seul multiple de c strictement
compris entre – c et c est 0, donc
r– r′ = 0 et r=
r′.
■ Propriété 4 : transitivité
Propriété évidente.
■ Propriété 5 : congruences et opérations
1. Addition, soustraction et multiplication
Par hypothèse, il existe k et k′ entiers tels que
a= b+
kc et a′ = b′ + k′c, d’où :
• a+ a′ = b+ b′ +( k+
k′ )c où k+
k′ est un
entier donc ( a+
a′ )– ( b+
b′ ) est un multiple de
c, ce qui prouve que a+ a′ ≡ b+
b′ ( c).
De même pour a–
a′.
• aa′ = ( b+
kc) ( b′ + k′c)
= bb′ + bk′c+ b′kc + kk′c 2
= bb′ + cbk′ ( + b′k+
kk′c),
où bk′ + b′k+
kk′c est un entier. On en déduit
que aa′ – bb′ est un multiple de c ou encore que
aa′ ≡ bb′ ( c).
2. Puissances
Effectuons une démonstration par récurrence.
Initialisation : pour n = 1, la propriété est évidemment
vraie.
Hérédité : on suppose que pour un entier n 1,
on a a n ≡ b n ( c) ; montrons que a n + 1 ≡ b n + 1 ( c).
De a n ≡ b n ( c)
et a≡
b( c),
on déduit, par propriété
de multiplication, a n × a ≡ b n × b( c)
soit
a n + 1 ≡ b n + 1 ( c).
Par récurrence, on a donc montré que pour tout n
entier naturel non nul, a n ≡ b n ( c).
➜ ILLUSTRATION
■ Les congruences en couleur
On a écrit les entiers par rangées de 2, de 3, de 4... dans différents tableaux.
Quelle propriété commune ont tous les entiers d’une même colonne d’un tableau
0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4
2 3 3 4 5 4 5 6 7 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 8 9 10 11 10 11 12 13 14
6 7 9 10 11 12 13 14 15 15 16 17 18 19
8 9 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24
10 11 15 16 17 20 21 22 23 25 26 27 28 29
12 13 18 19 20 24 25 26 27 30 31 32 33 34
Par rangées de 2, on a dans la colonne de gauche : les nombres congrus à 0 modulo 2 (les multiples de 2),
dans celle de droite les nombres congrus à 1 modulo 2 (de la forme 2k + 1 ).
Par rangées de 3, on a dans la colonne de gauche les nombres congrus à 0 modulo 3, dans celle du milieu
les nombres congrus à 1 modulo 3 (qui sont de la forme 3k + 1 ), dans celle de droite les nombres congrus
à 2 modulo 3 (de la forme 3k + 2 ). Et ainsi de suite.
Dans un tableau, chaque colonne représente une classe de nombres tous congrus au nombre figurant en
tête de colonne, modulo le nombre de colonnes du tableau.
chapitre 1 Divisibilité dans ➥
15

TP
CD
1. Sauts de puce
78
77
76
75
74
73
79
72
80
71
70
88
87
86
85
84
83
82
81
69
68
67
66
65
64
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Au début, une puce est
11
sur la case numérotée 0 du circuit. Elle
12
effectue un premier bond qui l’amène sur la case
n o 1 puis un deuxième en sautant par-dessus une case jusqu’à
la case n o 3. Elle saute ensuite par-dessus deux cases jusqu’à la case
n o 6 puis elle continue en sautant à chaque fois une case de plus. Il s’agit
de répondre à la question suivante : la puce atteindra-t-elle toutes les cases du
circuit
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
63
62
61
60
59
99
A. Observer quelques sauts
58
57
43
56
44
55
54
46
45
53 52 51 50 49 48 47
38
39
40
41
42
13
14
Pour vous faire votre propre idée sur la question, accompagnez la puce sur le circuit pendant
quelques sauts (une bonne vingtaine) en cochant les cases atteintes par la puce, et répondez
aux questions suivantes : 1. Combien de sauts la puce effectue-t-elle avant de boucler son
premier tour de circuit Sur quelle case la puce se trouve-t-elle alors 2. Au bout de combien
de sauts la puce revient-elle pour la deuxième fois sur la case n o 10 3. La case n o 18 est-elle alors
atteinte
B. Modéliser la situation
On désigne par u n
le numéro de la case atteinte par la puce après le n e saut. (Par convention
u 0 = 0.) 1. Pendant le premier tour, trouver une relation entre u n et u n + 1 . Quelle est alors
l’expression de u n en fonction de n 2. Justifier maintenant le résultat général suivant : u n
est
nn ( + 1)
donné par les deux derniers chiffres de l’entier --------------------. 3. On suppose qu’une puce vient
2
de sauter pour la n e fois. Elle est sur la case u n . Où est une autre puce qui a, elle, effectué
( n + 200) sauts ( 199 – n)
sauts
C. Préciser le parcours
1. Expliquer pourquoi toutes les cases atteintes par la puce le seront
dans les 99 premiers sauts. 2. Dresser un tableau indiquant
toutes les cases atteintes par la puce et avec quelle
fréquence elles seront atteintes pendant
les 99 premiers sauts.
35
36
37
15
16
17
18
19
31
32
33
34
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
16 ➥ chapitre 1 Divisibilité dans

TP
2. Critères de divisibilité
Pouvez-vous dire, sans effectuer de calculs, si le nombre 195 065 est
divisible ou non par 5
Si oui, vous avez utilisé ce que l’on appelle un critère de divisibilité
par 5.
1. Quels autres critères de divisibilité connaissez-vous Les avezvous
déjà démontrés
2. Critère de divisibilité par 9
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de 10 k par 9,
k ∈ *.
b. Montrer que tout entier naturel est congru à la somme de ses chiffres
modulo 9.
c. Retrouver le critère connu de divisibilité par 9.
d. Sans calculatrice, déterminer le reste dans la division par 9 de
451 258.
3. Critère de divisibilité par 11
a. Montrer que pour tout k ∈ *, 10 k ≡ (–
1) k modulo 11.
b. Prouver que tout entier naturel
est congru à la somme alternée de
ses chiffres modulo 11.
c. Énoncer un critère de divisibilité
par 11.
On appelle somme alternée des
chiffres du nombre
a n a n – 1 ...a 1 a 0 la somme
a 0 – a 1 + a 2 – ... + (–
1) n a n .
d. Les nombres 425 612 et 415 781 sont-ils des multiples de 11
Des caractères de
divisibilité des
nombres déduits de la
somme de leurs
chiffres
« Rien de plus connu en
arithmétique que la proposition
d’après laquelle
un multiple quelconque
de 9 se compose de chiffres
dont la somme est
elle-même un multiple de
9... Bien que cette règle
soit communément employée,
je ne crois pas que
personne jusqu’à présent
en ait donné une démonstration
ni ait cherché à
en généraliser le principe.
Dans ce petit traité, je justifierai
le caractère de divisibilité
par 9 et plusieurs
autres analogues... »
B. Pascal, 1654
4. Critères à volonté
Cherchons par exemple un critère de divisibilité par 7. Pour cela on examine les restes dans la division
par 7 des puissances de 10 successives.
a. En remarquant que 10 k + 1 = 10 × 10k , expliquer comment compléter facilement le tableau suivant.
Le recopier et le compléter.
10 k 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8
Reste de la division de 10 k par 7
b. Déterminer à l’aide du tableau si 689 243 157 est divisible par 7.
Remarque : Un autre critère de divisibilité par 7 sera étudié au problème 42 page 54.
Exercice : On pourra démontrer de même qu’un nombre est divisible :
• par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
• par 4 si et seulement si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4 ;
• par 8 si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
chapitre 1 Divisibilité dans ➥
17

EXERCICES RÉSOLUS
1 ÉNONCÉ : Montrer que pour tout entier naturel n > 0, 3 2n – 2 n est un multiple de 7.
Solution 1 ➥ Utilisation des congruences
3 2n – 2 n = ( 3 2 ) n – 2 n = 9 n – 2 n . Or 9≡
2( 7)
donc pour tout entier
n > 0, 9 n ≡ 2 n ( 7)
d’où 3 2n – 2 n ≡ 07 ( ).
Par suite 3 2n – 2 n est un multiple de 7.
Solution 2 ➥ Une factorisation bien utile
Pour n ∈ * et a et b réels,
a n – b n = ( a–
b) ( a n 1 + a n 2 b+ a n 3b2
+ ... + a2bn 3 + abn 2 + b n 1 ).
Ainsi 3 2n – 2 n = 9 n – 2 n = ( 9–
2) ( 9 n 1 + ... + 2n 1 ) = 7K où K est un
entier.
Pour n ∈ *, 3 2n – 2 n est donc un multiple de 7.
Commentaire
Pour montrer qu’un entier a est
multiple de b, b ∈ *, on peut
montrer que :
• a ≡ 0( b) : on peut alors utiliser les
propriétés de calcul des congruences.
• a=
kb avec k entier.
voir aussi exercices n° 12, 83, 118
2 ÉNONCÉ : Montrer que pour tout n ∈ , l’entier nn ( + 1) ( 2n + 1)
est multiple de 6.
Solution 1 ➥ Utilisation des congruences. Disjonction des cas
Dans la division par 6, les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Donc
tout entier n est congru à 0, 1, 2, 3, 4, ou 5 modulo 6.
Les propriétés de calcul des congruences permettent alors de compléter
le tableau suivant :
0
1
2
3
4
5
Modulo 6
n ≡ n + 1 ≡ 2n + 1 ≡ nn ( + 1) ( 2n + 1)≡
0+ 1≡ 1 2× 0+ 1 ≡ 1 0× 1×
1≡
0
1+ 1≡ 2 2× 1+ 1 ≡ 3 1× 2×
3≡6≡0
2+ 1≡ 3 2× 2+ 1 ≡ 5 2× 3×
5≡30 ≡0
3+ 1≡ 4 2× 3+ 1 ≡7≡1
3× 4×
1≡12 ≡0
4+ 1≡ 5 2× 4+ 1 ≡9≡3
4× 5×
3≡60 ≡0
5+ 1≡6 ≡0
2× 5+ 1 ≡11 ≡5
5× 0×
5≡
0
Dans tous les cas, nn ( + 1) ( 2n + 1) ≡ 0 ( 6),
c’est-à-dire que pour tout
entier n, l’entier n( n + 1) ( 2n + 1)
est un multiple de 6.
Commentaires
• Traduire le problème en terme de
congruences permet d’utiliser leurs
propriétés de calcul.
• Dans la division par b, b ∈ *, les
restes possibles sont 012...b , , , , – 1.
On peut établir de nombreux résultats
en examinant chacun des cas
possibles. On parle de méthode
exhaustive ou de disjonction des cas.
voir aussi exercices n o 82, 86, 87
Solution 2 ➥ Utilisation des propriétés de transitivité
et de combinaison linéaire
• Le produit de deux entiers consécutifs est pair ; en effet parmi deux
entiers consécutifs, l’un est pair et l’autre impair. Ainsi 2 divise
nn ( + 1) et donc 2 divise n( n + 1) ( 2n + 1)
par transitivité.
On sait donc que n( n + 1) ( 2n + 1)
est pair.
Commentaires
Pour montrer qu’un entier a est
multiple de b, b ∈ *, on peut
montrer que :
• a est un multiple d’un multiple de b
(propriété de transitivité) ;
• Le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ; en effet
parmi trois entiers consécutifs, l’un est un multiple de 3, donc 3 divise
cet entier et par transitivité, 3 divise le produit des trois entiers
consécutifs (1).
22 ➥ chapitre 1 Divisibilité dans

EXERCICES RÉSOLUS
Commentaires
• Exprimons nn ( + 1) ( 2n + 1) en fonction de nn ( + 1) ( n + 2) :
Comme 0 4<
5, le reste de la division de 352 14 546 par 5 est égal à 4.
87, 117, 118
nn ( + 1) ( 2n + 1) = nn ( + 1) ( n + 2 + n – 1)
• a s’écrit comme une combinaison
linéaire de multiples de b (une somme
= nn ( + 1) ( n + 2) + nn ( + 1) ( n – 1).
dans l’exemple ci-contre).
Par (1), on sait que 3 divise les produits ( n – 1)n( n+
1)
et
n( n + 1) ( n + 2), donc 3 divise leur somme qui est n( n + 1) ( 2n + 1).
Par suite n( n + 1) ( 2n + 1)
est un multiple pair de 3 ; c’est un nombre
de la forme 3 × m où m est un entier nécessairement pair, donc de la
forme 3× ( 2k)
= 6k, k entier, c’est-à-dire un multiple de 6.
Solution 3 ➥ Un raisonnement par récurrence
Commentaires
• Le raisonnement par récurrence
Montrons par récurrence que pour tout n ∈ , nn ( + 1) ( 2n + 1)
est
sera détaillé au chapitre 1 du manuel
multiple de 6.
de l’enseignement obligatoire.
• Initialisation : montrons que la proposition est vraie pour n = 0.
Si n = 0, nn ( + 1) ( 2n + 1) = 0; c’est bien un multiple de 6.
• Hérédité : on suppose que pour un entier k, k 0, l’entier
kk ( + 1) ( 2k + 1)
est multiple de 6 (c’est l’hypothèse de récurrence).
Montrons que la proposition reste vraie au rang suivant k + 1, c’està-dire
que ( k + 1) (( k + 1) + 1) ( 2( k + 1) + 1)
est un multiple de 6.
Formons la différence entre ces deux nombres :
( k + 1) (( k + 1) + 1) ( 2( k + 1) + 1) – kk ( + 1) ( 2k + 1)
• Exprimer la différence entre les
termes de rang k + 1 et de rang k,
= ( k + 1) [( k + 2) ( k + 3) – k( 2k + 1)
] permet de montrer que ces deux
= ( k + 1) ( 6k + 6) = 6( k + 1) .
termes diffèrent d’un multiple de 6.
Par suite :
( k + 1) (( k + 1) + 1) ( 2( k + 1) + 1) = kk ( + 1) ( 2k + 1) + 6( k + 1) .
Comme ( k + 1) est un entier, 6( k + 1) est un multiple de 6.
De plus, par hypothèse de récurrence, kk ( + 1) ( 2k + 1)
est un multiple
de 6, donc ( k + 1) (( k + 1) + 1) ( 2( k + 1) + 1)
est une somme de • Il est souvent possible d’établir un
deux multiples de 6 : c’est un multiple de 6.
résultat d’arithmétique par
La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.
récurrence, mais il y a bien souvent
des méthodes plus rapides...
• Conclusion : La propriété étant vérifiée au rang 0 et héréditaire à
partir du rang 0, elle est vraie pour tout entier n, n 0.
Remarque : dans le chapitre 1 du manuel de l’enseignement obligatoire,
on montre que pour n ∈ *,
1 2 + 2 2 + ... + n 2 nn ( + 1) ( 2n + 1)
= ----------------------------------------- .
6
Il est alors clair que nn ( + 1) ( 2n + 1)
est divisible par 6 pour
n ∈ *.
voir aussi exercice n o 61
3 ÉNONCÉ : Quel est le reste de la division de 35214 546 par 5
Solution ➥ Utilisation des congruences
Commentaires
• Comme 352 ≡ 2( 5),
on a 352 14 546 ≡ 2 14 546 ( 5).
• Trouver le reste r de la division de a
• Observons les puissances de 2 modulo 5 : 2 2 ≡ 45 ( ), 2 3 = 8 donc par b, b ∈ *, c’est trouver r tel que
2 3 ≡ 35 ( ), 2 4 = 2 3 × 2 donc 2 4 ≡3× 2≡6≡1( 5).
a≡ r( b)
et 0 r<
b.
Alors pour tout entier q > 0, 2 4q = ( 2 4 ) q donc 2 4q ≡1 q ( 5) ≡15
( ).
• Plaçons donc 14 546 par rapport aux multiples de 4 :
14 546 a pour quotient q = 3 636 et pour reste r = 2 dans la division
par 4.
• La puissance des congruences :
leurs propriétés de calcul permettent
de trouver à la main des résultats que
la calculatrice ne peut fournir !
Alors 2 14 546 = 2 4q+ r = 2 4q × 2 r et donc :
2 14 546 ≡1× 2 r ≡2 r ≡2 2 ≡45
( ).
voir aussi exercices n o 84, 86,
chapitre 1 Divisibilité dans ➥
23

EXERCICES
➜ EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Multiples et diviseurs
1
Vocabulaire
Recopier les phrases suivantes et les compléter par
multiple ou diviseur :
250 est un ... de 50.
21 est un ... de 2 100.
0 est un ... de 15.
1 est un ... de 4.
37 est un ... de 37.
2 1. Combien y a-t-il de multiples de 13 compris entre
1 000 et 2 000
2. Combien y a-t-il de multiples de 75 compris entre
– 3 000 et 2 000
8 Nombres abondants
« Le nombre (sur)abondant est celui qui, outre les parties
qui lui conviennent et qui lui échoient, en a d’autres
plus nombreuses, comme si un animal adulte était
formé de trop de parties ou de membres, “ ayant dix
langues ” comme dit le poète, et dix bouches, ou neuf
lèvres, et pourvu de trois rangées de dents... Tels sont
12, 24 et d’autres ; en effet 12 a une moitié, 6, un tiers,
4, un quart, 3, un sixième, 2, un douzième, 1, lesquels
récapitulés ensemble font 16, qui est plus que le
12 initial. »
Nicomaque, Introduction arithmétique
3 1. Vérifier qu’il existe un entier de deux chiffres
qui, multiplié par 12 345 679 (attention, il n’y a pas
le 8 !) donne un nombre qui ne s’écrit qu’avec des 9.
2. Par quel nombre suffit-il de multiplier 98 765 432
pour n’obtenir que des chiffres 8
4 Parité
Recopier les tableaux suivants et les compléter par pair
ou impair :
pair
+ pair impair × pair impair
impair
5
Le terrain
pair
impair
Un terrain rectangulaire a des dimensions en mètres
qui sont des entiers.
1. Quelles peuvent être ses dimensions sachant que sa
surface est de 300 m 2
2. Déterminer ses dimensions sachant de plus que la
largeur est un multiple de 3 et que la longueur est
impaire.
6 Qui suis-je
Je suis celui des multiples de 11 compris entre 100 et
150 qui a le moins de diviseurs. Qui suis-je
7 Nombres amicaux
Comme des amis, les nombres amicaux vont par deux :
chacun est égal à la somme des diviseurs stricts de
l’autre (c’est-à-dire différents du nombre lui-même).
Vérifier que 220 est l’ami d’un autre nombre.
1. À la lecture de ce texte, proposer une définition d’un
nombre abondant.
2. Vérifier que 24 est abondant.
3. Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont
abondants : 15, 28, 36, 42
9 1. Expliquer pourquoi 10! se termine par 2 zéros.
2. Par combien de zéros 100! se termine-t-il
10 Calculer la somme des multiples de 33 compris
entre 500 et 5 000.
11 Quels sont les entiers a tels que a 2 – 1 soit divisible
par 8
12 Soit p un entier impair. Démontrer que la somme
de p nombres consécutifs est toujours un multiple de p.
Le résultat est-il encore valable pour un entier pair
13 Le but de l’exercice est de déterminer un entier
naturel p 2 tel que p – 1 divise p + 11.
1. Démontrer que si k est un entier naturel,
p + 11 = kp ( – 1)
si et seulement si ( p – 1) ( k – 1) = 12.
2. En déduire toutes les solutions au problème posé.
24
➥ chapitre 1 Divisibilité dans