1. Divisibilité dans - Didier

COURS
➜ DÉMONSTRATIONS
■ Propriété et définition 3
Écrivons les relations des divisions euclidiennes
de a et b par c :
a= cq+
r et b=
cq′ + r′,
où q, q′, r et r′ sont des entiers avec 0 r<
c
et 0 r′ < c .
Par soustraction :
a– b= cq + r – ( cq′ + r′ ) = cq ( – q′ ) + r–
r′.
• Supposons que r= r′ : alors a– b=
cq ( – q′ ),
avec q– q′ entier : a–
b est un multiple de c.
• Réciproquement, supposons a–
b multiple
de c. Alors c | a– b. Or c | c( q–
q′ ), donc
c | a– b–
cq ( – q′ ) par propriété des combinaisons
linéaires, c’est-à-dire c | r– r′ : r–
r′ est
multiple de c.
Mais 0 r<
c (1) et 0 r′ < c , donc
– c < – r′ 0 (2). En ajoutant (1) et (2) :
– c < r– r′ < c . Or le seul multiple de c strictement
compris entre – c et c est 0, donc
r– r′ = 0 et r=
r′.
■ Propriété 4 : transitivité
Propriété évidente.
■ Propriété 5 : congruences et opérations
1. Addition, soustraction et multiplication
Par hypothèse, il existe k et k′ entiers tels que
a= b+
kc et a′ = b′ + k′c, d’où :
• a+ a′ = b+ b′ +( k+
k′ )c où k+
k′ est un
entier donc ( a+
a′ )– ( b+
b′ ) est un multiple de
c, ce qui prouve que a+ a′ ≡ b+
b′ ( c).
De même pour a–
a′.
• aa′ = ( b+
kc) ( b′ + k′c)
= bb′ + bk′c+ b′kc + kk′c 2
= bb′ + cbk′ ( + b′k+
kk′c),
où bk′ + b′k+
kk′c est un entier. On en déduit
que aa′ – bb′ est un multiple de c ou encore que
aa′ ≡ bb′ ( c).
2. Puissances
Effectuons une démonstration par récurrence.
Initialisation : pour n = 1, la propriété est évidemment
vraie.
Hérédité : on suppose que pour un entier n 1,
on a a n ≡ b n ( c) ; montrons que a n + 1 ≡ b n + 1 ( c).
De a n ≡ b n ( c)
et a≡
b( c),
on déduit, par propriété
de multiplication, a n × a ≡ b n × b( c)
soit
a n + 1 ≡ b n + 1 ( c).
Par récurrence, on a donc montré que pour tout n
entier naturel non nul, a n ≡ b n ( c).
➜ ILLUSTRATION
■ Les congruences en couleur
On a écrit les entiers par rangées de 2, de 3, de 4... dans différents tableaux.
Quelle propriété commune ont tous les entiers d’une même colonne d’un tableau
0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4
2 3 3 4 5 4 5 6 7 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 8 9 10 11 10 11 12 13 14
6 7 9 10 11 12 13 14 15 15 16 17 18 19
8 9 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24
10 11 15 16 17 20 21 22 23 25 26 27 28 29
12 13 18 19 20 24 25 26 27 30 31 32 33 34
Par rangées de 2, on a dans la colonne de gauche : les nombres congrus à 0 modulo 2 (les multiples de 2),
dans celle de droite les nombres congrus à 1 modulo 2 (de la forme 2k + 1 ).
Par rangées de 3, on a dans la colonne de gauche les nombres congrus à 0 modulo 3, dans celle du milieu
les nombres congrus à 1 modulo 3 (qui sont de la forme 3k + 1 ), dans celle de droite les nombres congrus
à 2 modulo 3 (de la forme 3k + 2 ). Et ainsi de suite.
Dans un tableau, chaque colonne représente une classe de nombres tous congrus au nombre figurant en
tête de colonne, modulo le nombre de colonnes du tableau.
chapitre 1 Divisibilité dans ➥
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