1. Divisibilité dans - Didier

EXERCICES
➜ EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Multiples et diviseurs
1
Vocabulaire
Recopier les phrases suivantes et les compléter par
multiple ou diviseur :
250 est un ... de 50.
21 est un ... de 2 100.
0 est un ... de 15.
1 est un ... de 4.
37 est un ... de 37.
2 1. Combien y a-t-il de multiples de 13 compris entre
1 000 et 2 000
2. Combien y a-t-il de multiples de 75 compris entre
– 3 000 et 2 000
8 Nombres abondants
« Le nombre (sur)abondant est celui qui, outre les parties
qui lui conviennent et qui lui échoient, en a d’autres
plus nombreuses, comme si un animal adulte était
formé de trop de parties ou de membres, “ ayant dix
langues ” comme dit le poète, et dix bouches, ou neuf
lèvres, et pourvu de trois rangées de dents... Tels sont
12, 24 et d’autres ; en effet 12 a une moitié, 6, un tiers,
4, un quart, 3, un sixième, 2, un douzième, 1, lesquels
récapitulés ensemble font 16, qui est plus que le
12 initial. »
Nicomaque, Introduction arithmétique
3 1. Vérifier qu’il existe un entier de deux chiffres
qui, multiplié par 12 345 679 (attention, il n’y a pas
le 8 !) donne un nombre qui ne s’écrit qu’avec des 9.
2. Par quel nombre suffit-il de multiplier 98 765 432
pour n’obtenir que des chiffres 8
4 Parité
Recopier les tableaux suivants et les compléter par pair
ou impair :
pair
+ pair impair × pair impair
impair
5
Le terrain
pair
impair
Un terrain rectangulaire a des dimensions en mètres
qui sont des entiers.
1. Quelles peuvent être ses dimensions sachant que sa
surface est de 300 m 2
2. Déterminer ses dimensions sachant de plus que la
largeur est un multiple de 3 et que la longueur est
impaire.
6 Qui suis-je
Je suis celui des multiples de 11 compris entre 100 et
150 qui a le moins de diviseurs. Qui suis-je
7 Nombres amicaux
Comme des amis, les nombres amicaux vont par deux :
chacun est égal à la somme des diviseurs stricts de
l’autre (c’est-à-dire différents du nombre lui-même).
Vérifier que 220 est l’ami d’un autre nombre.
1. À la lecture de ce texte, proposer une définition d’un
nombre abondant.
2. Vérifier que 24 est abondant.
3. Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont
abondants : 15, 28, 36, 42
9 1. Expliquer pourquoi 10! se termine par 2 zéros.
2. Par combien de zéros 100! se termine-t-il
10 Calculer la somme des multiples de 33 compris
entre 500 et 5 000.
11 Quels sont les entiers a tels que a 2 – 1 soit divisible
par 8
12 Soit p un entier impair. Démontrer que la somme
de p nombres consécutifs est toujours un multiple de p.
Le résultat est-il encore valable pour un entier pair
13 Le but de l’exercice est de déterminer un entier
naturel p 2 tel que p – 1 divise p + 11.
1. Démontrer que si k est un entier naturel,
p + 11 = kp ( – 1)
si et seulement si ( p – 1) ( k – 1) = 12.
2. En déduire toutes les solutions au problème posé.
24
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