1. Divisibilité dans - Didier

COURS
2. La division euclidienne
A ■ Division euclidienne dans
THÉORÈME ET DÉFINITION 1➜
a b
r q
Soit a et b deux entiers naturels, b étant non nul.
Il existe un unique couple ( qr , ) d’entiers naturels tels que
a= bq+
r avec 0 r<
b.
On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste dans
la division euclidienne de a par b.
Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs
de b.
+ r
+ b
0 b 2b ... qb
a
(q + 1) b
Attention : Il y a de multiples écritures de a sous la forme b×
q+
r mais
une seule est la relation de la division euclidienne de a par b.
Par exemple 103 = 13 × 7 + 12 mais on a aussi 103 = 13 × 6 + 25.
Seule l’égalité 103 = 13 × 7 + 12 est la relation de la division euclidienne
de 103 par 13 car 0
12<
13.
Exemples :
• Dans notre système décimal, le chiffre des unités d’un nombre est le reste
de la division de ce nombre par 10.
• Pour tout entier n, n > 1, n 2 + 2n + 2 = ( n + 1) 2 + 1, où 0
1<
n + 1,
donc le quotient et le reste de la division euclidienne de n 2 + 2n + 1 par
n + 1 sont respectivement q = n + 1 et r = 1.
Conséquences immédiates
de la définition➜
• Dans la division de a par b, il n’y a que b restes possibles :
0, 1, 2 , …,
b – 1.
• b divise a si et seulement si le reste dans la division de a par b est nul.
+ 4
+ 7
– 21 – 17 – 14
B ■ Extension de la notion à
La définition s’étend aisément au cas où a et b sont des entiers relatifs,
b ≠ 0. En encadrant de même a par deux multiples consécutifs de b, on
montre qu’il existe un unique couple ( qr , ) avec q ∈ , r ∈ tel que
a= bq+
r et 0 r<
b .
Exemple : Divisons – 17 par – 7 : on encadre – 17 par
deux multiples consécutifs de – 7, à savoir – 21 et – 14 ;
on a alors
– 17 = – 21+ 4= (–
7) × 3 + 4 avec 0
4<
– 7 .
Dans la division de – 17 par – 7, le quotient est 3 et le
reste 4.
Application : Tout entier relatif admet pour reste 0, 1 ou 2 dans la division
par 3, donc s’écrit sous l’une des trois formes 3q, 3q + 1 ou 3q + 2
avec q ∈ .
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