1. Divisibilité dans - Didier

EXERCICES RÉSOLUS
1 ÉNONCÉ : Montrer que pour tout entier naturel n > 0, 3 2n – 2 n est un multiple de 7.
Solution 1 ➥ Utilisation des congruences
3 2n – 2 n = ( 3 2 ) n – 2 n = 9 n – 2 n . Or 9≡
2( 7)
donc pour tout entier
n > 0, 9 n ≡ 2 n ( 7)
d’où 3 2n – 2 n ≡ 07 ( ).
Par suite 3 2n – 2 n est un multiple de 7.
Solution 2 ➥ Une factorisation bien utile
Pour n ∈ * et a et b réels,
a n – b n = ( a–
b) ( a n 1 + a n 2 b+ a n 3b2
+ ... + a2bn 3 + abn 2 + b n 1 ).
Ainsi 3 2n – 2 n = 9 n – 2 n = ( 9–
2) ( 9 n 1 + ... + 2n 1 ) = 7K où K est un
entier.
Pour n ∈ *, 3 2n – 2 n est donc un multiple de 7.
Commentaire
Pour montrer qu’un entier a est
multiple de b, b ∈ *, on peut
montrer que :
• a ≡ 0( b) : on peut alors utiliser les
propriétés de calcul des congruences.
• a=
kb avec k entier.
voir aussi exercices n° 12, 83, 118
2 ÉNONCÉ : Montrer que pour tout n ∈ , l’entier nn ( + 1) ( 2n + 1)
est multiple de 6.
Solution 1 ➥ Utilisation des congruences. Disjonction des cas
Dans la division par 6, les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Donc
tout entier n est congru à 0, 1, 2, 3, 4, ou 5 modulo 6.
Les propriétés de calcul des congruences permettent alors de compléter
le tableau suivant :
0
1
2
3
4
5
Modulo 6
n ≡ n + 1 ≡ 2n + 1 ≡ nn ( + 1) ( 2n + 1)≡
0+ 1≡ 1 2× 0+ 1 ≡ 1 0× 1×
1≡
0
1+ 1≡ 2 2× 1+ 1 ≡ 3 1× 2×
3≡6≡0
2+ 1≡ 3 2× 2+ 1 ≡ 5 2× 3×
5≡30 ≡0
3+ 1≡ 4 2× 3+ 1 ≡7≡1
3× 4×
1≡12 ≡0
4+ 1≡ 5 2× 4+ 1 ≡9≡3
4× 5×
3≡60 ≡0
5+ 1≡6 ≡0
2× 5+ 1 ≡11 ≡5
5× 0×
5≡
0
Dans tous les cas, nn ( + 1) ( 2n + 1) ≡ 0 ( 6),
c’est-à-dire que pour tout
entier n, l’entier n( n + 1) ( 2n + 1)
est un multiple de 6.
Commentaires
• Traduire le problème en terme de
congruences permet d’utiliser leurs
propriétés de calcul.
• Dans la division par b, b ∈ *, les
restes possibles sont 012...b , , , , – 1.
On peut établir de nombreux résultats
en examinant chacun des cas
possibles. On parle de méthode
exhaustive ou de disjonction des cas.
voir aussi exercices n o 82, 86, 87
Solution 2 ➥ Utilisation des propriétés de transitivité
et de combinaison linéaire
• Le produit de deux entiers consécutifs est pair ; en effet parmi deux
entiers consécutifs, l’un est pair et l’autre impair. Ainsi 2 divise
nn ( + 1) et donc 2 divise n( n + 1) ( 2n + 1)
par transitivité.
On sait donc que n( n + 1) ( 2n + 1)
est pair.
Commentaires
Pour montrer qu’un entier a est
multiple de b, b ∈ *, on peut
montrer que :
• a est un multiple d’un multiple de b
(propriété de transitivité) ;
• Le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ; en effet
parmi trois entiers consécutifs, l’un est un multiple de 3, donc 3 divise
cet entier et par transitivité, 3 divise le produit des trois entiers
consécutifs (1).
22 ➥ chapitre 1 Divisibilité dans