1. Divisibilité dans - Didier

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2. Critères de divisibilité
Pouvez-vous dire, sans effectuer de calculs, si le nombre 195 065 est
divisible ou non par 5
Si oui, vous avez utilisé ce que l’on appelle un critère de divisibilité
par 5.
1. Quels autres critères de divisibilité connaissez-vous Les avezvous
déjà démontrés
2. Critère de divisibilité par 9
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de 10 k par 9,
k ∈ *.
b. Montrer que tout entier naturel est congru à la somme de ses chiffres
modulo 9.
c. Retrouver le critère connu de divisibilité par 9.
d. Sans calculatrice, déterminer le reste dans la division par 9 de
451 258.
3. Critère de divisibilité par 11
a. Montrer que pour tout k ∈ *, 10 k ≡ (–
1) k modulo 11.
b. Prouver que tout entier naturel
est congru à la somme alternée de
ses chiffres modulo 11.
c. Énoncer un critère de divisibilité
par 11.
On appelle somme alternée des
chiffres du nombre
a n a n – 1 ...a 1 a 0 la somme
a 0 – a 1 + a 2 – ... + (–
1) n a n .
d. Les nombres 425 612 et 415 781 sont-ils des multiples de 11
Des caractères de
divisibilité des
nombres déduits de la
somme de leurs
chiffres
« Rien de plus connu en
arithmétique que la proposition
d’après laquelle
un multiple quelconque
de 9 se compose de chiffres
dont la somme est
elle-même un multiple de
9... Bien que cette règle
soit communément employée,
je ne crois pas que
personne jusqu’à présent
en ait donné une démonstration
ni ait cherché à
en généraliser le principe.
Dans ce petit traité, je justifierai
le caractère de divisibilité
par 9 et plusieurs
autres analogues... »
B. Pascal, 1654
4. Critères à volonté
Cherchons par exemple un critère de divisibilité par 7. Pour cela on examine les restes dans la division
par 7 des puissances de 10 successives.
a. En remarquant que 10 k + 1 = 10 × 10k , expliquer comment compléter facilement le tableau suivant.
Le recopier et le compléter.
10 k 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8
Reste de la division de 10 k par 7
b. Déterminer à l’aide du tableau si 689 243 157 est divisible par 7.
Remarque : Un autre critère de divisibilité par 7 sera étudié au problème 42 page 54.
Exercice : On pourra démontrer de même qu’un nombre est divisible :
• par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
• par 4 si et seulement si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4 ;
• par 8 si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
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