1. DivisibilitÃ© dans - Didier

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➜ DÉMONSTRATIONS ■ Théorème de la division euclidienne dans COURS 1. Existence de q et r • Premier cas : Si 0 a< b, le couple ( qr , ) = ( 0, a) convient. • Second cas : Supposons maintenant a b ; a et b sont alors deux entiers naturels strictement positifs. Soit M l’ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a. L’entier Dans , une partie non 2b× a appartient à M ( 2b× a est un multiple de b strictement supérieur à vide admet un plus petit a puisque b 1 et a ≠ 0 ) donc M est non vide. M admet donc un plus petit élément (propriété élément, c’est-à-dire un multiple de b, strictement supérieur à a, tel que le admise). multiple précédent soit inférieur ou égal à a. Il existe donc un entier q tel que qb a < ( q + 1)b. Comme b a, on a b a< ( q+ 1)b et donc 1 < q + 1 d’où 0 < q. On sait donc que q est un entier naturel. Posons alors r= a– qb. Comme a, b et q sont des entiers, r est un entier. De qb a, on déduit que r 0 donc r est un entier naturel. De a< ( q+ 1)b, on déduit que r< b. On a donc trouvé deux entiers naturels q et r tels que a= bq+ r avec 0 r< b. Conclusion : dans tous les cas, il existe un couple ( qr , ) d’entiers naturels tels que a= bq+ r, 0 r< b. 2. Unicité de q et r Supposons qu’il existe deux couples d’entiers ( qr , ) et ( q′ , r′ ) tels que : a= bq+ r= bq′ + r′ (1), avec r et r′ tels que 0 r< b et 0 r′ < b (2). Montrons que ces couples sont en fait les mêmes. De (1), on déduit que bq ( – q′ ) = r′ – r, avec q– q′ entier : r′ – r est un multiple de b. De (2), on déduit que – b < – r 0 d’où par addition avec 0 r′ dans (1), on obtient bq + r = bq′ + r d’où q= q′ car b ≠ 0. Le couple ( qr , ) est donc unique. ➜ EN PRATIQUE Avec une calculatrice • Calcul du quotient et du reste de la division euclidienne de a par b, b > 0. On calcule E( a⁄ b) où E( x) désigne la Certains modèles disposent de fonctions « reste » et partie entière de x, puis r= a– bq, ce qui « quotient » ; sur TI89 ou TI92, on trouve dans le catalogue permet une programmation aisée. Ceci est les fonctions int et mod qui donnent quotient et reste. un programme sur TI82 : PROGRAM:DIVISEUC :Prompt A, B :Int(A/B) →Q :A–B*Q →R :Disp "Q= ",Q :Disp "R= ",R ➜ APPLICATION 59 Déterminer a, b et c entiers tels que (1) : ----- a b -- c = + + ---- , avec 0 b < 3, 0 c < 3. 3 3 2 L’égalité (1) s’écrit aussi 59 = 9a + 3b+ c= 33a ( + b) + c. Ayant 0 c < 3, cette relation est celle de la division euclidienne de 59 par 3 avec pour reste c et quotient 3a+ b. D’où c = 2 et 3a+ b= 19. À nouveau, l’égalité 19 = 3a+ b avec 0 b < 3 est celle de la division euclidienne de 19 par 3, avec pour reste b et quotient a. D’où b = 1 et a = 6. 3 2 chapitre 1 Divisibilité dans ➥ 13
COURS 3. Les congruences A ■ Définition Propriété et définition 3 Notation :On note alors a ≡ b( c) ou a≡ b modulo c, ou bien sûr b ≡ a( c) ou b≡ a modulo c. C’est en 1801 que C.F. Gauss a introduit la notion de congruence et le symbole ≡ . Soit c un entier relatif non nul. Deux entiers relatifs a et b ont même reste dans la division par c si et seulement si a– b est multiple de c. Dans ce cas, on dit que a et b sont congrus modulo c. Il est équivalent de dire que a est congru à b ou que b est congru à a modulo c. Exemples : Sur la droite réelle, on a repéré en bleu des multiples de 3 et en rouge des nombres ayant tous le même reste 2 dans la division par 3 : – 4 + 2 – 3 – 1 + 2 0 2 3 5 • 11 ≡ 5( 3), 11 ≡ – 4( 3), 11 ≡ 11( 3), 11 ≡ 2( 3) . • 25 705 ≡ 10 585( 10) car 25 705 et 10585 ont même chiffre des unités 5. + 2 + 2 6 8 + 2 9 11 B ■ Propriétés Propriété 4 ➜ Transitivité Soit a, a′, a″ et c des entiers relatifs avec c ≠ 0. Si a ≡ a′ ( c) et a′ ≡ a″ ( c) alors a≡ a″ ( c). Remarques : Si a et b sont des entiers relatifs, c ∈ * : • a ≡ b( c) est équivalent à a ≡ b( – c) car c et – c ont les mêmes multiples. • a est un multiple de c si et seulement si a ≡ 0( c). • Si r est le reste dans la division euclidienne de a par c, a≡ r( c). En revanche, une relation a ≡ r( c) ne permet de conclure que r est le reste dans la division de a par c que dans le cas où 0 r< c. • Les nombres congrus à b modulo c sont les entiers de la forme b+ kc, k ∈ . Par exemple, les nombres congrus à 1 modulo 2 sont les nombres de la forme 1+ 2k, k ∈ , c’est-à-dire les nombres impairs. Propriété 5 ➜ Congruences et opérations Soit a, b, a′, b′ et c des entiers relatifs avec c ≠ 0. Si a ≡ b( c) et a′ ≡ b′ ( c), alors : a+ a′ ≡ b+ b′ ( c) et a– a′ ≡ b– b′ ( c) ; aa′ ≡ bb′ ( c) ; a n ≡ b n ( c) pour tout n ∈ *. On peut donc ajouter ou multiplier membre à membre deux congruences modulo c. On dit que la relation de congruence modulo c est compatible avec l’addition et la multiplication des entiers relatifs. Attention : On ne peut pas simplifier une congruence comme une égalité : 2a ≡ 2b( c) n’implique pas que a≡ b( c). Par exemple, 16 ≡ 20( 4) mais 8 et 10 ne sont pas congrus modulo 4. 14 ➥ chapitre 1 Divisibilité dans
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Page 11: EXERCICES ➜ EXERCICES D’ENTRAÎ

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