pour tout x - Didier

Développer, factoriser
3
pour résoudre
1 Avec le vocabulaire
1. Associer à chaque expression un terme
A× B −A différence produit
A+
B A−
B
inverse quotient
A
B
1
A
opposé somme
2. Écrire la somme de 1 et du carré de x + 3.
3. Écrire le quotient de 3 par la somme de 2 et de 4 x .
2 Avec des transformations
Donner dans chaque cas la bonne réponse.
1. ( 5 x) 2 est égal à :
a. 5 x 2
b. 10 x
2
c. 25x 2
d. 25+ 10 x+
x2
2. ( x − 2)
2 est égal à :
a. x 2 + 4
b. x 2 − 4
c. x2 −4x− 4 d. x2 − 4x+
4
3. 2x + 3 est égal à :
x
a. 5 b. 2 + 3 c. 2 + 3 d. autre
x 1
4. La forme factorisée de 4x2
− 12x+ 9 est :
a. ( 2x + 3) 2 b ( 2x−
3) ( 2x+
3)
c. ( 2x − 3) 2 d. 4x( x− 3)+
9
3 Avec l’égalité
« Est-il vrai que, pour n’importe quelle valeur de x,
on a 5x2
− 10x+ 2= 7x− 4 »
– Léa a répondu : « Oui, c’est vrai. En effet, si on
remplace x par 3, on a : 5× 32
− 10× 3+ 2= 17 et
7× 3− 4= 17. »
– Myriam a répondu : « Non, ce n’est pas vrai.
En effet, si on remplace x par 0, on a
5× 02
− 10× 0+ 2= 2 et 7× 0− 4=− 4. »
Une de ces deux élèves a donné un argument qui
permet de répondre de façon correcte à la question
posée dans l’exercice.
Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.
4 Avec des équations
Donner dans chaque cas la (ou les) bonne(s)
réponse(s).
1. −2 est solution de l’équation :
a. 2x = 0
b. − x2 − 2x=
0
c. 4 1 1
x + =−
2. L’équation 4x− 3= 7x+ 6 a pour solution
a. 3 b. 9 11
c. −3 d. 12
3. L’équation ( 2x+
1)−( x−3)= 0 a pour solution(s) :
a. 0,5 et 3 b. 2
c. − 4 d. − 0,5 et 3
81

1 Égalité : pour tout x ou pas
Voici des algorithmes de calcul associés à quatre fonctions f, g, h et k.
Comprendre ce que signifie
une égalité « pour tout x »
et comment la démontrer.
Travailler la notion
d’équation et de solution.
Fonction f
• ajouter 3
• multiplier par 2
• soustraire 6
Fonction h
• élever au carré
• soustraire le nombre de départ
• ajouter 2
Fonction g
• ajouter 1
• élever au carré
• soustraire 1
• soustraire le carré du nombre de départ.
Fonction k
• soustraire 1
• élever au carré
• multiplier par −12
• ajouter le double du cube du nombre de départ
1. Calculez les images de 1 et de 2 par chacune des fonctions f, g, h et k.
Qu’observez-vous Formulez une conjecture.
2. Calculez les images de 3 par chacune des fonctions f, g, h et k.
Confirmez-vous votre conjecture Sinon, faites une nouvelle conjecture.
3. Calculez les images de 4 par chacune des fonctions f, g et k.
Confirmez-vous votre conjecture Sinon, faites une nouvelle conjecture.
4. Peut-on être sûr de cette conjecture
2 Reconnaître la structure d’une expression
Préparer les factorisations
et la résolution des
équation produit ou
équation quotient.
Aide
Reconnaître
la structure d’une
expression.
1. a. Recopier l’arbre de calcul ci-contre
(ou l’imprimer sur le site) et compléter les cases
oranges par les résultats des opérations
indiquées dans les cases vertes.
b. L’expression obtenue à la fin est-elle une
somme ou un produit De quels termes ou
de quels facteurs
c. Dresser un arbre amenant à x( x+ 2)+
1
à partir de : x 2 1
Est-ce une somme un produit
2. Recopier les expressions ci-dessous.
Entourer :
– en bleu celles qui sont des sommes,
– en rouge celles qui sont des produits,
– en vert celles qui sont des quotients.
3
… × …
…+ …
a
… × …
a. x 2 + x b. x( x+ 2)+
3 c. ( x+
1) ( x−
2 ) d. 2( x + 4) 2 e. x 2 + 3
f. x −1
3
2
g. ( 2x + 4) − 1 h. x ( x + 3)
( x −1)
( x −1)
i. x −
x2
( x+
2)
2
x
j. 1
( x − 2) −
82

3 Choisir la bonne forme
Interpréter graphiquement
puis démontrer une égalité
pour tout x.
Anticiper un calcul pour
choisir la « bonne forme ».
1. Représenter graphiquement sur le même écran de la calculatrice les fonctions f, g et h
définies sur R par :
f ( x)= x2 2
−2x– 8 ; g( x)= ( x–4) ( x+
2 ) ; h( x)= ( x−1) − 9.
Qu’observe-t-on Expliquer et démontrer.
2. Calculer f ( 0), f (), 1 f ( 4), f ( 3) en choisissant à chaque fois l’expression qui demande le
moins de calcul.
Revoir ce que signifie «être
solution d’une équation».
Résoudre graphiquement
une équation.
Introduire la notion
d’équations équivalentes.
4 Trois stratégies pour une équation …
Pour résoudre l’équation x( 6x−
4)= x, trois élèves procèdent différemment :
Théo : Je prends ma calculatrice. Je rentre X( 6X−
4) en Y1 et X en Y2.
Je règle le pas de la table de valeurs à 0,1 en partant de −2 et j’explore la table de valeurs
pour trouver quand Y1 et Y2 sont égales.
Manon : Je prends ma calculatrice. Je rentre X( 6X−
4) en Y1 et X en Y2.
Je trace les courbes et j’utilise l’outil Trace de ma calculatrice.
Karim : Moi j’écris x( 6x-4=x ) , je simplifie par x et je finis les calculs.
1. a. Quelle(s)solution(s) chaque élève va-t-il donner
b. Préciser s’il s’agit de solutions exactes ou approchées.
2. Citer des avantages et des inconvénients de chacune des méthodes utilisées.
Introduire les « équations
produits » et les
« équations quotients ».
Utiliser ET et OU et préciser
leur sens.
5 Équation produit et équation quotient
1. a. Entrer sur une calculatrice les trois fonctions
f : x↦ 2x− 4, g : x↦ x− 3, h : x↦ ( 2x−
4)× ( x−3).
b. Faire afficher la table de valeurs à partir de -1 avec un pas de 0,5.
c. Lire sur cette table des valeurs de x telles que h( x)= 0.
Que constate-t-on sur f ( x) et g( x) pour ces valeurs de x
d. Existe-t-il d’autres valeurs de x telles que h( x)= 0 Pourquoi
e. Pour quelles valeurs de x a-t-on ( x+
4)×( 3x– 1)=
0
x
2. a. Modifier la fonction h sur la calculatrice en h : x ↦ 2 − 4 .
x − 3
b. Dans la table de valeurs, déterminer :
– une valeur de x telle que h( x)= 0 ;
– une valeur de x telle que le calcul de h( x) renvoie un message d’erreur.
Que constate-t-on sur f ( x) ou g( x) dans chaque cas Expliquer.
c. Si on entre sur la calculatrice la fonction définie par (
x + 1
x)=
3x
− 6 ,
pour quelle(s) valeur(s) de x aura-t-on un message d’erreur dans la table de valeurs
Pour quelle(s) valeur(s) de x aura-t-on ( x)= 0
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
83

1 Égalité « pour tout x » et équation
A. Égalité « pour tout x »
Un nombre possède plusieurs écritures. Par exemple, 0,5 ; 1 ;
2
;
50
sont différentes
2 4 100
écritures d’un même nombre. De même plusieurs expressions algébriques peuvent
correspondre à la même fonction.
Égalité « pour tout x »
● Quelle que soit la valeur par laquelle on remplace x dans les expressions
( x−
3) ( x+
1)−
5, x2 −2x− 8, ( x−
4) ( x+
2 ) on obtient le même résultat.
On écrit : pour tout réel x, ( x−
3) ( x+
1)− 10= x2 −2x− 8= ( x−4) ( x+
2)
.
● Soit f la fonction définie sur par f ( x)= ( x−3) ( x+
1)−
10.
On a aussi f ( x)= x2 − 2×−8 et f ( x)= ( x−4) ( x+
2 ) pour tout réel x.
Pour calculer des images ou antécédents par f, pour étudier des propriétés de f, on peut
utiliser l’une ou l’autre de ces expressions, la mieux adaptée.
Exemple
On calcule facilement f ( 4) avec f ( x)= ( x−4) ( x+
2 ) car f ( 4)= ( 4−4)× ( 4+
2)= 0.
B. Équation
Les expressions 2x − 1et x 2 − 4 ne sont pas égales pour tout réel x.
Par exemple, pour x = 0, 2x − 1prend la valeur −1 et x 2 − 4 la valeur − 4.
En revanche, pour x = 3, on a 2x − 1= 2× 3= 5 et x 2 − 4= 3 2 − 4= 5.
● Quand x prend la valeur 3, on a bien l’égalité 2x− 1= x 2 − 4 :
on dit que 3 est solution de l’équation 2x− 1= x 2 − 4.
● Résoudre une équation c’est chercher toutes les solutions de cette équation.
2 Développer, factoriser
Développer une expression c’est l’écrire sous la forme d’une somme.
Factoriser une expression c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
A. Les propriétés
Pour tous réels k, a, b, c, d :
● distributivité
développer
k× ( a+
b)= k× a+ k×
b
factoriser
● double distributivité
développer
( a+
b)× ( c+
d)= a× b+ a× d+ b× c+ b×
d
● identités remarquables
développer
( a+
b) = a + 2 × a× b+
b
( a−
b) = a − 2 × a× b+
b
( a+
b)× ( a−b)= a2 −b2
2 2 2
2 2 2
factoriser
Attention, il ne faut pas confondre :
2 2
( 3x) = ( 3× x) = 32 × x2 = 9x2
et ( 3+
x) = 3 + 2× 3× x+ x = 9+ 6x+
x
2 2 2 2
84

1 Égalité : pour tout x ou pas
Énoncé
Les égalités suivantes sont-elles vraies pour tout réel x
2 2
a. 1+ x+ x2
= 2x + 1
b. ( x+
1) −( x−1) = 4x.
Solution
a. On peut tester sur quelques valeurs :
• pour x = 0 , on a bien 1+ x+ x
2
= 1et 2x + 1=
1
• pour x = 1, on a aussi 1+ x+ x
2
= 3 et 2x + 1=
3
• pour x = 2, 1+ x+ x
2
= 7 mais 2x + 1= 5 et 7≠ 5.
Donc l’égalité n’est pas vraie pour tout réel x.
b. On peut tester « à la main » ou à la calculatrice
2
avec Y1= ( X + 1) −( X −1)
2 et Y2 = 4X.
L’égalité semble vraie pour les valeurs de x choisies.
Démontrons-la en développant : pour tout x réel,
2 2
( x+
1) −( x−1) = x2 + 2x+ 1− x2
− 2x+
1
( )
2 2 2 2
donc ( x+
1) −( x−1) = x + 2x+ 1− x + 2x−1
2 2
Donc ( x+
1) −( x−1) = 4x
pour tout x réel.
Méthode
Pour démontrer que
deux expressions :
• ne sont pas « égales
pour tout x », il suffit de
trouver une valeur de x pour
laquelle il n’y a pas égalité :
c’est un contre-exemple ;
• sont « égales pour tout
x », des exemples ne suffisent
pas. Il faut le démontrer
par le calcul algébrique
(« avec x »).
Voir exercices 22 et 23
2 Développer puis choisir la bonne forme
Énoncé
AB=8 et M appartient à [ AB]. AMEF et MBGH sont des carrés. On pose x = AM avec x ∈[ 0;8. ]
L’aire totale de la figure est ( x)= x + ( 8 −x)
.
2 2
F
E
H
G
1. Démontrer que, pour tout x de [ 0;8],
( x)= 2x2 − 16x+
64 et ( x)= 32+ 2( x−4)
2 .
2. Calculer ( 4) puis montrer que ( x) ( 4 ) pour tout x de [ 0;8]. Interpréter en terme d’aire.
Solution
1. Développons « à la main » ou avec un logiciel l’expression
de ( x). Pour tout x de [ 0;8],
( x)= x + ( 8 −x)
2 2
( x)= x + 64 − 16 x+
x
2 2
Avec Xcas
( x)= 2x2 − 16x+
64.
De même, pour tout x de [ 0;8],
2
32+ 2( x−4) = 32+ 2
2
8 16 2
2
( x − x+
)= x − 16 x + 64.
On retrouve la même expression donc, pour tout x de [ 0;8], ( x)= 32+ 2( x−4)
2 .
2. Utilisons la dernière expression de ( x) : ( 4)= 32+ 2× 0= 32.
Un carré est toujours positif ou nul donc 2( x − 4) 2 l’est aussi.
De ( x)= 32+ 2( x−4)
2 , on déduit que ( x) 32 donc ( x) ( 4 ) pour tout x de [ 0;8].
L’aire est minimale pour x = 4 donc pour M milieu de [ AB].
A
M
Méthode
Pour démontrer
que pour tout x réel,
f( x)= g( x),
on peut transformer :
• f ( x) pour arriver à g( x).
• g( x) pour arriver à f ( x).
• f ( x) et g( x) pour arriver
à une même 3 e expression
(comme dans cet exercice).
• f( x)− g( x) pour obtenir 0.
Conseil
Bien observer les expressions
de f ( x) pour choisir
celle qui est la mieux adaptée
à la question posée.
B
Voir exercices 40 et 41
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
85

B. En pratique : comment factoriser une expression
Méthode
On peut aussi factoriser
en utilisant un logiciel de
calcul formel, voir exercice
résolu 4 page suivante.
Pour factoriser une expression « à la main » on analyse sa structure et on se pose un certain
nombre de questions.
Q1 : Est-ce une somme (ou une différence) De combien de termes
Q2 : Chaque terme est-il un produit ou peut-on l’écrire comme un produit
Quels sont les facteurs dans chaque terme Y a-t-il un facteur commun à tous les
termes
Sinon, Q3 : Peut-on utiliser une identité remarquable
Sinon, Q4 : Peut-on factoriser d’abord une partie de l’expression pour faire apparaître un
facteur commun ou une identité remarquable
Sinon, on développe en espérant pouvoir ensuite factoriser.
Exemple 1 Factoriser f ( x)= ( x+
1) ( 2x−
3)+ 4( x+
1. )
Q1 Cette expression est une somme de deux termes. f ( x)= ( x+
1)× ( 2x−3) + 4× ( x+
1)
Q2 Chaque terme est un produit de deux facteurs. f ( x)= ( x+
1) × ( 2x−
3) + 4×( x+
1)
( x + 1 ) est un facteur commun aux deux termes. f ( x)= ( x+
1) × ( 2x−
3) + 4×( x+
1)
On factorise. f ( x)= ( x+
1) × (( 2x−
3)
+ 4)
On réduit le second facteur. f ( x)= ( x+
1) ×( 2x+
1 ) pour tout x réel.
Exemple 2 Factoriser g( x)= 16 x − ( x+
1)
2 2
Q1 C’est une différence de deux termes. g( x)= 16 x −( x+
1)
Q2 Les termes sont des produits sans facteur
commun.
Q3 On a une différence de deux carrés a
2 2
− b . g( x)= ( 4 x) − ( x + 1)
2 2
2 2
On utilise a2 − b2
= ( a−b)× ( a+
b). g( x)= (( 4x)− ( x+
1)
) ×( ( 4x)+ ( x+
1)
)
On réduit chaque facteur. g( x)= ( 4x−x− 1) ×( 4x+ x+
1)
g( x)= ( 3x−1) ×( 5x+
1 ) pour tout x réel.
Exemple 3 Factoriser h( x)= x2 − 9+ 3( x−3)
Q1, Q2, Q3 : h( x) est une somme de trois termes.
On ne voit ni identité remarquable ni facteur
commun.
Q4 On peut factoriser x 2 − 9 : x2 − 9= ( x−3) ×( x+
3)
Ceci fait apparaître ( x − 3 )
h( x)= ( x−3) × ( x+
3) + 3×( x−
3)
comme facteur commun dans h( x) h( x)= ( x−3) × ( x+
3) + 3×( x−
3)
et permet de factoriser. h( x)= ( x−3) × (( x+
3)
+ 3)
On finit en réduisant. h( x)= ( x−3) ×( x+
6 ) pour tout x réel.
86

Énoncé
3 Factoriser des expressions algébriques
Factoriser : a. 4x2
+ 4x+ 1 b. 4x2
+ 6x
c. ( x + 1) − 25
Solution
d. 9x2
− 12x+ 4 e. ( x+
1) − 3( x+
1)
2
2
2
f. 4x
+ 4x
2 2
a. C’est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme a + 2 ab+ b :
4x + 4x+ 1=( 2x) + 2× 2x× 1+ 1 = ( 2x+
1) pour tout x réel.
b. C’est une somme de deux termes, chacun est un produit et le facteur x est en commun :
4x2
+ 6x = 4x× x+ 6× x = x× ( 4x+
6)
donc 4x2
+ 6x = x× ( 4x+
6)
pour tout x réel.
c. C’est une différence de deux carrés de la forme a2 − b2
:
( x+
1) 2 − 25= ( x+
1) 2 − 5 2 = (( x+
1) −5)× (( x+
1)
+ 5)= ( x−4)×
( x + 6 ) pour tout x réel.
2 2
d. C’est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme : a − 2 ab+
b
9x 2 − 12x+ 4= ( 3x) 2 − 2× 3x× 2+ 2 2 = ( 3x−2)
2 pour tout x réel.
2
e. ( x+
1) − 3( x+
1)= ( x+
1) × ( x+
1) − 3×( x+
1)
= ( x+
1) × (( x+
1)
− 3)
= ( x+
1) × ( x−
2 ) pour tout x réel.
f. 4 x
2 + x est une somme de deux termes, mais x n’est pas un produit !
On écrit x = x×1 pour obtenir un produit, d’où :
4x2
+ x = 4x× x+ x× 1= x×
( 4x+ 1)
pour tout x réel.
Aides
2
est le produit ¥
est le produit ¥ 1
En particulier x = x×1.
Voir exercices 45 à 51
Énoncé
4 Factoriser « à la main » par étapes ou avec un logiciel
Factoriser : a. f ( x)= 4 x 3 −x
b. g( x)= ( x+
1) ( x−
4)+ 3x+
3
c. h( x)= 2x2 − 20x+
50 d. p( x)= x2 − 8x+
12.
Solution
a. f ( x)= 4x − x = 4× x× x −x× 1= x×
( 4x −1)= x( 2x−1)( 2x+
1)
3 2 2 pour tout x réel.
b. On factorise d’abord 3x + 3 en 3× ( x + 1)
: g( x)= ( x+
1) ( x−
4)+ 3( x+
1. )
Ceci fait apparaître ( x + 1 ) comme facteur commun donc g( x)= ( x+
1)× ( x− 4+
3 ).
On réduit : g( x)= ( x+
1)× ( x−1 ) pour tout x réel.
c. On factorise d’abord 2x2
− 20x+ 50 en 2
2
( x − 10x+
25).
Ceci fait apparaître x
2 − 10 x+
25
( ) qu’on peut factoriser en utilisant une identité remarquable :
h( x)= 2 x2 ( − 10x+
25)= 2( x−5)
2 pour tout x réel.
d. p( x) est une somme de trois termes mais ce n’est pas une identité remarquable,
il n’y a pas de facteur commun et pas de factorisation partielle immédiate !
On peut utiliser un logiciel de calcul formel comme Xcas.
Pour aller plus loin On pourrait « à la main » partir de l’identité remarquable
x − 8x+ 16= ( x−4) et écrire ( x−
4) = p ( x)+
4.
2 2
2
On en déduit que p( x)= ( x−4) − 4= ( x−4−2) ( x− 4+
2)= ( x−6) ( x−
2)
.
2
Voir exercices 52 à 57
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
87

3 Résoudre graphiquement une équation
Soit k un nombre réel et f et g deux fonctions.
Équation f( x)= k
Équation f x g x
Exemple : f ( x)= 2
Exemple
y
2
y = 2
y
( )= ( )
1
f
g
O 1 2
x
1
0,5
Les solutions sont 1 et 2.
Méthode générale
1. On place k sur l’axe ( Oy).
2. On repère tous les points de la courbe
d’ordonnée k.
3. On lit leurs abscisses : ce sont les solutions.
f
O
La solution est 1.
1
Méthode générale
1. On repère les points communs aux deux
courbes.
2. On lit les abscisses de ces points : ce sont
les solutions.
x
4 Résoudre algébriquement une équation
Si deux équations (E) et
( E ′)
sont équivalentes,
on note :
() E ⇔ ( E′
).
On lit
(E) équivaut à ( E ′).
si et seulement si
traduit aussi une
équivalence :
voir page 353.
Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.
Propriété
Pour transformer une équation en une équation équivalente, on peut utiliser les
transformations suivantes :
• T 1 : Développer, factoriser, réduire certains termes.
• T 2 : Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’équation.
• T 3 : Multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non nul.
• Équations du premier degré
Ce sont celles qui s’écrivent sous la forme ax+ b= cx+ d (a, b, c, d sont des réels). On peut
les résoudre directement grâce aux transformations ci-dessus.
• Autres équations
– Si après développement l’équation est équivalente à une équation du premier degré, on
développe puis on résout.
– Sinon on transforme l’équation en une équation équivalente dont un membre est nul
pour pouvoir appliquer les propriétés suivantes.
Propriétés
● Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
¥ = 0 si et seulement si = 0 OU = 0.
● Un quotient est nul si et seulement si son numérateur et nul et son dénominateur non nul :
= 0 si et seulement si = 0 ET π 0 .
88

Énoncé
5 Résoudre une équation du premier degré
Résoudre l’équation 2( x+
3)− 4= 5x− 1.
Solution
L’équation 2( x+
3)− 4= 5x−1
T 1 : on développe le
équivaut à 2x+ 2= 5x−1
1 er membre
T 2 : on soustrait 5 x
à 2x− 5x+ 2=−
1
à chaque membre
T 1 : on réduit le
à − 3x
+ 2=−
1
1 er membre
T 2 : on soustrait 2
à − 3x
=− 3
à chaque membre
à x = − 3
=
− 3 1 T 3 : on divise par − 3
chaque membre
Cette équation a pour seule solution 1.
Aide
Résoudre une équation
du second degré.
Méthode
Pour résoudre une équation du
1 er degré :
– on développe et on réduit si nécessaire
chaque membre.
– on isole les inconnues dans un
membre.
– on finit la résolution (en appliquant T 3 ).
Voir exercices 67 à 72
6 Résoudre graphiquement puis par le calcul
Énoncé
Résoudre les équations suivantes graphiquement puis par le calcul.
a. E
2
2
1 : 3x 3x 2 x 2
b. E
2
2 : ( x ) + x = x −
( ) + − =− −
( ) −1 3 1
Solution
a. On représente les fonctions f et g telles f ( x)= 3x2 + 3x−2
et g( x)=−x−2.
Les courbes (écran 1) semblent avoir deux points d’intersection d’abscisses 0 et
environ −1,3. On conjecture deux solutions à l’équation : 0 et environ −1,3.
Par le calcul. Cette équation n’est pas du premier degré.
• On rassemble les termes dans le 1 er membre pour obtenir un
2 nd membre égal à 0 (T 2 ) : ( E
2
1 )⇔ 3x
+ 4x
= 0
• On factorise (T 1 ) : ( E 1 )⇔ x( 3x+
4)=
0
• Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
( E 1 )⇔ x = 0 OU 3x + 4=
0
( E 1 )⇔ x = 0 OU x =− 4 3
écran 1
Méthode
Pour conjecturer les solutions
d’une équation,
on peut utiliser les courbes tracées par
la calculatrice et l’outil Trace. Attention,
rien ne dit qu’il n’y a pas d’autres solutions
en dehors de l’écran !
Il y a deux solutions : 0 et − 4 (lu −1,3 graphiquement).
3
b. On peut conjecturer graphiquement −2 comme solution (écran 2) mais il est
difficile de lire sur la calculatrice le nombre de solutions. Cette équation équivaut
à une équation du 1er degré après développement et réduction (T 1 ) :
( E
2 2
2 )⇔ x − x+ + x = x −
2 1 3 1
( E 2 )⇔ x =−2
.
écran 2
L’équation a en fait pour seule solution − 2.
Voir exercices 61 à 64, 83 à 87
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
89

Travaux pratiques
1 Une longueur minimale
Déterminer le minimum d’une fonction.
On veut réserver une zone rectangulaire d’aire 1 800 m² pour créer une
cressonnière au bord d’une rivière.
On souhaite l’entourer de grillage sauf le long de la rivière.
Problème étudié
Quelles sont les dimensions de la zone qui nécessitent le moins de grillage
possible ■
ABCD représente la cressonnière. On note x et y les longueurs en mètres de ses
côtés et L x ( ) la longueur du grillage.
1. Quelle information possède-t-on sur le rectangle ABCD
En déduire y en fonction de x.
2. Démontrer que pour tout x 0 , L( x)= 2 x+
1 800 .
x
3. Conjecturer à l’aide de la courbe de L la longueur minimale m de grillage
nécessaire.
x
B
A
y
C
D
x
4. Démontrer ce résultat en écrivant L( x)− m sous une forme adaptée.
Pour aller plus loin
Le grillage doit être acheté par rouleaux de longueur 50 m. On veut acheter le moins de grillage possible et ne pas
découper le grillage ! Quelles dimensions peut avoir la zone
( x−
)( x−
)
Aide : On démontrera que, pour tout x 0 , L( x)− 150 =
2 15 60 .
x
2 Couper en 2, encore et encore : la dichotomie
Résoudre une équation par dichotomie.
A Le « juste prix »
Un élève volontaire V choisit le prix entier P en euros d’un objet entre 0 € et 256 €. Il le note sur un papier mais ne le
dit pas à la classe. La classe doit trouver ce prix selon la règle ci-dessous :
On notera au tableau le n° de l’étape et l’intervalle dans lequel se trouve le prix.
• Étape 1 : Un élève propose le prix « du milieu » : 128 €. V répond : « c’est plus cher », « c’est moins cher » ou « c’est
juste ». On note au tableau le n° de l’étape, le prix proposé et l’intervalle dans lequel se trouve le prix cherché.
• Étape 2 : Un élève propose à nouveau le prix « du milieu » et on continue comme à l’étape 1.
On continue ainsi jusqu’à trouver le juste prix et
on indique le nombre de propositions qu’il a fallu faire pour le trouver.
1. Jouer 2 ou 3 fois à ce jeu en changeant le prix P choisi.
2. Calculer les longueurs des intervalles à chaque étape.
Que constate-on
90
Dichotomie vient du grec et signifie
« coupure en deux parties ».

Travaux pratiques
B Résolution approchée d’une équation
On ne sait pas résoudre en classe de seconde l’équation x 3 = 5.
On peut chercher en revanche une valeur approchée de la solution (ou des solutions).
1. Localisation des solutions
a. Avec la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la fonction f : x↦
x
3 et le nombre de solutions de
l’équation f ( x)= 5. On admettra ces deux conjectures pour la suite.
b. Vérifier que la solution appartient à l’intervalle [ a ; b]= [ 12 , ; 2. ]
c. De quelles façons pourrait-on procéder avec la calculatrice pour obtenir une valeur approchée
à 10 − 1 près de la solution à 10 − 2 près à 10 − 4 près (Ne pas le faire.)
2. Une dichotomie à la main
a. Étape 1 : On propose le milieu 1,6 de l’intervalle [ 12 , ; 2].
Calculer f ( 16 , ) à la calculatrice. Est-il plus petit ou plus grand que 5
Dans quel intervalle se trouve la solution : [ 12 , ; 16 , ] ou [ 16 , ; 2]
b. On continue de même. Recopier et compléter le tableau pour les 6 premières étapes.
( ) La solution appartient à a b
Étape n° Proposition L’image est … 5 ou5
[ ; ] avec
début a = 12 , b = 2
1 1,6 a = b =
…
c. Quelle valeur approchée de la solution à 10 -1 près peut-on
fournir à 10 − 2 près
3. Un algorithme pour aller plus loin
On souhaite écrire un algorithme qui affiche l’intervalle
obtenu après un nombre suffisant d’étapes pour que la
longueur de cet intervalle soit inférieure à une longueur
donnée. Par exemple, si on veut une valeur approchée de
la solution 0,01 près, on choisira = 0, 01.
Recopier et compléter l’algorithme suivant :
a, b, p, nombres
Saisir les bornes a et b de l’intervalle de
départ ( a
b) et saisir la longueur
souhaitée
TRAITEMENT : Tantque b−
a … Faire
( a+
b)
p =
2
VARIABLES :
ENTRÉES :
SORTIES :
Si p 3 5 Alors a prend la valeur …
Sinon … prend la valeur …
FinSi
FinTantque
Afficher a et b
Les équations que l’on sait résoudre de façon exacte en
seconde sont de types très particuliers. Les mathématiciens
eux-mêmes savent résoudre beaucoup d’équations
de façon exacte mais pas toutes ! De nombreux
problèmes concrets, par exemple concernant la recherche
spatiale, conduisent à des équations très complexes,
souvent en grand nombre. Les mathématiciens
développent alors des algorithmes pour trouver avec
de puissants ordinateurs des valeurs approchées des
solutions.
Pour aller plus loin
Programmer l’algorithme et donner une valeur approchée
de la solution de x 3 = 5 à 10 − 5 près.
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
91

Travaux pratiques
3 Créer une jauge
Résoudre un problème concret à l’aide des TICE (Geoplan-Geospace, logiciel de calcul formel).
Problème étudié
Créer une jauge sur la partie transparente de la boîte indiquant le volume de sucre contenu dans la boîte en
indiquant par des graduations tous les 30 cm 3 le volume de sucre qu’elle contient (on suppose la boîte
posée sur une surface plane horizontale). ■
M
E
F
H
G
Q
N
P
D
A
C
B
On modélise la boîte par le solide ABCDEFGH représenté ci-dessus dont les faces sont des rectangles ou des trapèzes
rectangles. De plus, AB = 10 cm, AE = 9 cm, EF = 1 cm, AD = 4 cm.
A Préliminaire
Reproduire la face ABFE en vraie grandeur avec AM = 5 cm. On souhaite créer la jauge en indiquant sur le segment
[ AE] les volumes correspondants à différentes hauteurs de sucre.
B En explorant la figure sur Geospace
Ouvrir la figure disponible sur le site.
1. a. Créer un point M libre sur [ AE] et le plan p parallèle au plan ( ABC)
passant par M.
b. Faire afficher la longueur AM.
2. a. Créer N, P, Q puis le solide ABCDMNPQ.
b. Faire calculer et afficher le volume de ABCDMNPQ.
3. Proposer une façon de créer la jauge.
Appelez le professeur pour montrer votre travail.
C En utilisant une expression algébrique.
Soit h = AM en cm. Le volume de sucre en cm 3 est V( h)=− 2h + 40h
1. Proposer d’autres façons de créer la jauge.
2. Créer la jauge à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
Expliquer la démarche sur un exemple.
2
.
Aide Geospace
• Créer, Points, Points libres, Sur
un segment.
Créer, Plan, Parallèle à un plan.
• Créer, Affichage, Longueur d’un
segment.
• Calculer le volume par :
Créer, Numérique, Calcul
géométrique, Volume d’un solide.
Le faire afficher par : Créer,
Affichage, Variable numérique
déjà définie.
Pour aller plus loin
Placer O point d’intersection des droites ( AE) et ( BF) et calculer MN en fonction de h.
Donner la nature du solide ABCDMNPQ et retrouver l’expression de V( h) en fonction de h.
D’après académie de Nantes.
92

Sans crayon, sans calculatrice
1 Calculer : a. 2 × 3 −
3
b. 4 × 3 ×
5
.
5 10
8 6
2 Calculer : a. 10 % de 720 b. 30 % de 200.
3 Calculer : a. 90 % de 800 b. 99 % de 200.
4 Évaluer 24,6 % de 120 €.
5 De quel pourcentage augmente-t-on un prix quand
on le multiplie par 1,2
6 Calculer les coordonnées du milieu de [ AB] avec :
A( − 2 ; 1)
et B6
1
( ; −
2) .
7 ABC est un triangle rectangle en A.
AB = 4 et BC = 6. Calculer AC.
8 Réduire 45 − 5.
9 Le point A( 2;
3) appartient-il à la droite d’équation
y=− x+5
10
Calculer l’angle ACD
de la figure ci-contre.
11 Développer :
a. ( 2x −1)
2
b. ( 4x−1) ( 4x+
1).
12 Développer : a. 3 x
1
x−1
3
( ) b. ( 3 x − 7)
2
13 Quel est le terme en x 2 obtenu en développant et
2
réduisant ( x+
2) + 4( x−1)
2
14 Quel est le terme en x obtenu en développant et
réduisant ( 3x+
4) ( x−
2)
15 Développer et réduire ( 2x+
1) ( x+
1).
16 On sait que : 2a− b= 3 et 2a+ b= 5.
Calculer 4 a
2 − b
2 .
17 Factoriser : a. 9x2
+ 6x+ 1 b. 4x
2
− 64
2
18 Factoriser ( x+
1) + 4( x+
1)
.
19 Résoudre l’équation 3x+ 1= x− 5.
20 Résoudre l’équation x2 + 5x
= 0.
A
B
60°
C
D
Entraînement
Égalité « pour tout x » ou équation
21 Ces deux programmes donnent-ils toujours le même
résultat quand on les applique à des nombres réels
Programme 1
Soustraire 2
Élever au carré
Ajouter 1
Programme 2
Soustraire 4
Multiplier par le
nombre de départ
Ajouter 5
22 Soit f ( x)= x
3 et g( x)= x sur .
1. Calculer les images de − 1 , 0 et 1 par f et g.
2. A-t-on f( x)= g( x) pour tout x réel
23 Tracez sur la calculatrice les courbes représentatives
des fonctions f et g définies sur par f ( x)= ( x−1) ( x+
3 )
2
et g( x)= ( x+
1) − 4. Que constatez-vous Expliquez.
Aide : exercice résolu 1
24 Vrai ou faux
a. x2 + 1= x+ 1pour tout x réel.
b. x 3 − 1=
( x−1) x 2 + x+
1
Aide : exercice résolu 1
( ) pour tout x réel.
25 Apprendre à contrôler ses calculs
2
Soit f la fonction définie sur par f ( x)= ( 2x−3) ( x+
4)
.
Hélios a développé f ( x) en 4x3 + 16x2
−9x− 36 et
Manon en 4x3 + 16x2
− 9x+ 36.
1. Calculer l’image de 0 d’après ces trois formes.
Que peut-on en déduire pour Hélios et Manon
2. Calculer l’image de 1 par f. Qu’en déduit-on
Conseil : des tests simples, par exemple sur l’image de 0
permettent de repérer certaines erreurs, mais pas toutes…
26 Parmi les nombres − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; quels sont
ceux qui sont solutions de l’équation
a. x+ 3= 5x
−1
b. 3 x4
− x = 0
c. x + 2
x − 1 = d. x 3
= 2 x
27 1. Vérifier que − 1 et 3 sont solutions de l’équation
E : x3 + x2 −9x− 9= 0.
2. Soit S l’ensemble des solutions de l’équation E.
Que peut-on écrire (expliquer)
a. S = { − 1 ; 3}
b. S ⊂{ − 1 ; 3}
c. { − 1 ; 3}⊂ S
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 93

\
Développer
D’autres exercices sont disponibles sur le site.
Pour les exercices 28 à 36 écrire sans parenthèses les
expressions données puis les réduire.
28 a. ( 2x)× ( 3x) b. ( 2x)× ( 3+
x)
c. ( 2+
x)× ( 3x )
d. ( 2+
x)× ( 3+
x)
2
29 a. ( 4 x) b. ( 4 + x)
c. ( x − 4)
2 d. ( 4 − x)
30 a. 3× ( x−2)+ 6× ( 4−x ) b. 6 1 x+
1 12x
3
c. 3 12
16
4
( − x +
5
)
d. 2
1
( x+
3 x 1
2) − ( + )
2
2
( ) −
31 a. ( x − 3)
2 b. ( x + )
4 2
c. ( 2x − 3)
2 d. ( x−
2) ( x+
2)
32 a. ( 2x + 6) 2
b. ( 3x − 5)
2
( )
c. ( 5x−
3) ( 5x+
3) d. ( x+
2) x2
−1
( )
2
33 a. 2( 3−
t )
b.
1
a − 6 2
3
c. x 2 2
− 3
−
( ) d. ( x 2 4)
2
34 a. ( 2x−1) ( 4−
x) b. 2x( x+
3)−3( 2x−1)
2
c. ( x+
3) −2( x−2)
d. ( 32 ( t −1)
)
2
35 a. ( 4x−
3) 2 − ( x+
2) 2 b. x( x+
1) ( x−
2)
2
c. ( 2x−1) ( x+
3) ( x+
1) d. ( 2y−1) ( y+
2)
36 a. 3( x+
1) 2 − ( 2x+
2) 2 b. 3( 2x) ( 3x−
4)
c.
2 2
( ) − ( + ) d. x +
1
t+
4 4 t
2
1
4
( )
37 1. Développer ( x+
y) −( x−
y)
2 2 .
2 3
2. Sans calculatrice, calculer 10 0012 − 9 9992.
38 Développer x 2 −( x−
1 )( x+
1 ) puis calculer :
2 345 678 910 2 − 2 345 678 909 × 2 345 678 911.
39 La Terre a un rayon de 6 400 km environ.
1. Quelle serait la longueur d’un cable entourant la Terre
le long de l’équateur
2. De combien doit-on augmenter sa longueur pour qu’il
entoure la Terre à 1 m de hauteur au-dessus de l’équateur
40 Transformer pour un minimum
Soit V( x)= x2 − 6x+
3 pour tout x réel.
1. Démontrer que pour tout x réel, V( x)=− 6+ ( x−3)
2 .
2. En déduire que V( x) − 6 pour tout x réel.
3. Démontrer que V admet un minimum sur .
Aide : exercice résolu 2
41 Transformer pour un maximum
Soit h()=− t t2 + 6t−6 sur pour t réel.
1. Montrer que pour tout t réel, h()= t 3−( t−3)
2 .
2. En déduire que h admet un maximum sur .
42 1. Démontrer que, pour tous réels a et b,
2 2
( a+
b) − 4 ab= ( a−b)
.
a
2. Dans un carré, on a disposé
ab
quatre rectangles comme dans
la figure ci-contre.
a. Interpréter la formule
précédente en termes d’aires. a
b. Les quatre rectangles
peuvent-ils remplir tout le grand
b
carré
Factoriser
D’autres exercices sont disponibles sur le site.
43 Recopier et compléter :
a. 2 2 4 2
2
( x+…
) = x +…+ 9 b. ( x−…
) = x2 − 6 x+…
2
2
c. (…+
3) =…+ 24t + 9 d. ( x−…
) = x2
− x+…
44 Recopier et compléter :
2
a. ( x …) = x2 2
+…+ 16 b. ( x …) = x2 − 8 x+…
2
2
c. (…+
3) =…+ t + 9
d. (…−
4) =…− 4x
+…
Pour les exercices 45 à 57 factoriser les expressions
données.
45 Avec un facteur commun
a. 2x( x−1)+ 3x
b. ( x+
1) ( x+
2)+ 5( x+
2)
2
2
6
c. 3x
+ 9x
d. x − x
Aide : exercice résolu 3
46 Avec un facteur commun
2
a. 8x
− 5x
b. 3x+
4xy
c. 3 x
2
2
+ x
d. ( 2x+
1) − ( 2x+
1) ( x+
3)
47 a. 3x( x−
5)− x
b. xy + xz
c. x2 2
( x+
4)− 2x( x+
4) d. ( x−
3) −2( x−3) ( 2x−1)
a
b
a
b
94

48 Avec un facteur commun
2
a. 5x
− 6x
b. 3 xy + x
2
2
c. 2( x+
1) − 3( x+
1) d. ( x+
1) + x+
1
49 Avec une identité remarquable
a. x2 + 2x+ 1
b. ( 2x−
5) 2 − x2
c. 9x2
+ 12x+ 4
d. ( 2x−1) −( x−3)
Aide : exercice résolu 3
2 2
50 Avec une identité remarquable
a. ( 2x+
1) 2 −( 1−x) 2 b. x2 − 20 x+
100
c. 25− ( x + 1)
2
d. 4x2
+ 4+
8x
51 Avec une identité remarquable
a. 16( x+
1) 2 − 25x
2
b. 16 x
2
− 81
c. b2 3 b
9
2
− + d. ( a −1) − 2
4
52 Par étapes
a. x2 − 4+ ( x−2) ( x+
1) b. 3x2
− 12x+
12
c. x 2 + 3x+ ( x+
3) 2
d. ( x+
1) ( x+
2)− ( 3x+
6)
Aide : exercice résolu 4
53 Par étapes
a. 2x( x+
3)+ 4x+ 12 b. ( x−
3) ( 3x−
4)− 3x+
4
c. xy −xz− y( y − z )
d. − x2 + 8x−16
54 a. 7x2
− 14x
b. 16 x
2
− 81
c. 2 a 2 b− b
d. 4x2
− 4x+
1
2
55 a. 2( x−1) + 3x− 3 b. 2x 2
+ 8x
+ 8
c. x 2 − 16+ ( x−4) 2
d. 5x
2
−125
56 a. 4x2
− 12x+ 9 b. 7x 2 − 28
c. ( 2x−
3) 2 − ( 5x+
2) 2
2
d. ( x−
5) −2( x−5) ( x−
3)
57 a. 2x2
+ 7x
b. x2 + 26 x+
169
c. 9
2
( x − 25)+ ( 6x+
10) d. x 2 − 4 x+ 4 −( x−
2 )( 7 − x)
58 Factoriser pour un minimum
Soit f ( x)= x2 − 4x+
8 sur .
1. Factoriser f ( x)− 4.
2. En déduire que f admet pour minimum 4 sur .
59 À la calculatrice
Soit f ( x)= x2 − 2x+
3 pour tout x réel.
1. Conjecturer le minimum de f sur .
2. Factoriser f ( x)− 2 et conclure.
60 À la calculatrice
Soit v( x)=− x2 + 3x−6 sur .
1. La fonction v semble-t-elle admettre un maximum ou
un minimum sur Si oui, lequel
2. Factoriser v( x)+ 15 et conclure.
4
Résolutions graphiques
D’autres exercices sont disponibles sur le site.
61 Soit f ( x)= x2 + 2x−5 et g( x)=− x2 + 7 pour tout x
réel et leurs courbes tracées ci-dessous :
y
8
f
7 g
6
5
4
3
2
1
O
−4−3 −2 −1 1 2 3 4 x
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1. Lire graphiquement les solutions de l’équation
f( x)= g( x).
2. Vérifier par le calcul que ce sont les valeurs exactes des
solutions.
62 Résoudre graphiquement les équations :
a. f ( x)= 4 b. f ( x)= 1 c. g( x)=− 2
d. g( x)= 2 e. g( x)= 0 f. f( x)= g( x)
5
y
4
3
2
f 1
O
−4−3 −2 −1 1 −1
−2
g −3
2 3 4 5 6 x
−4
Pour aller plus loin
Résoudre graphiquement les équations f ( x)= x+1 et
g( x)= 1 −x.
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 95

63 À la calculatrice
1. Conjecturer des solutions de l’équation x 3 = x.
2. Déterminer par le calcul si ce sont bien des solutions de
l’équation.
64 À la calculatrice
1. Conjecturer à la calculatrice les solutions de l’équation
x3 − 32 x2
+ 57 x+ 90 = 0.
2. Le nombre 30 est-il solution de cette équation
65 ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm
et AC = 4 cm. Pour tout point M de [ AC] on place N sur
[ BC] tel que ( MN) et ( AB) soient parallèles.
1. Faire une figure à main levée.
2. Les courbes ci-dessous représentent les fonctions f et
g qui associent à la longueur AM en cm respectivement
l’aire du triangle CMN et l’aire du trapèze ABNM en cm².
Identifier chaque courbe.
12
8
4
y
1
2 3 4 x
3. Résoudre graphiquement les équations suivantes et les
interpréter pour la situation donnée :
a. f ( x)= 2 b. g( x)= 9 c. f( x)= g( x)
Pour aller plus loin Résoudre graphiquement
f( x)= 2 g( x)
; interpréter.
66 La courbe ci-dessous représente une fonction f
définie sur [ − 6 ; 10]
.
Équations du 1 er degré
D’autres exercices sont disponibles sur le site.
Pour les exerices 68 à 71 résoudre les équations proposées.
67 a. 2x − 3= 5
b. x+ 4= 5x−2
c. 3( x+
1)= 5x− 1
d. − 24 ( −x)+ 1=
2
Aide : exercice résolu 5
68 a. 2 x = 4
b. − 3x
= 4
3
c. − 6 x =
2
d. −
t
=
3
3 2
69 a. 2( 3x−1)− 5= x+ 1 b. − x+ = x+
2
5
c. 3( x−
2)− 1=− 2( x+
4) d. 2( 4−
3x)=− ( x+
5)
3 4 2( )
70
x
a. 2 1
1
( − x 3
) = − 3
b. x − 5
=− 3
7
c. 1 x+ 1
=−
3
x+ 1
d. x − 3 = 2x
+ 1
4 8 2 2
2
71 Quelle note doit-on ajouter à la liste 8 ; 12 ; 15 ; 8 ; 9 ;
14 pour avoir une moyenne égale à 12
72 Karen veut acheter des CD qui coûtent tous le
même prix. Elle calcule que, si elle en achète 4, il lui
restera 15 €, mais qu’il lui manque 5 € pour en acheter 5.
On désigne par x le prix d’un CD ; choisir parmi
les 4 équations ci-dessous celle qui correspond au
problème. La résoudre afin de calculer la somme dont
dispose Karen.
a. 4x− 15= 5x+ 5
b. 4x+ 15= 5x−5
c. 4x− 5x
= 15− 5
d. 4x+ 15= 5x+
5
73 Voici une suite de maisons dessinées avec des
allumettes. À quelle étape utilisera-t-on exactement
321 allumettes
– 6
– 3
y
4
2
1
1
10
x
1 re étape 2 e étape 3 e étape
74 En continuant cet algorithme de construction, à
quelle étape a-t-on besoin de 439 carrés
– 3
1. Quel est le nombre de solutions de l’équation f ( x)= 2
2. Comment choisir m pour que l’équation f( x)=
m
admette trois solutions
3. Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de
solutions de l’équation f( x)= m.
1 er étape 2 e étape 3 e étape
75 Après une augmentation de 8 % un article coûte
18,90 €. Quel était son prix initial
96

76 Après une diminution de 15 % un article coûte
22,10 €. Quel était son prix initial
77 Rappeler les formules de calcul
du volume d’une sphère de rayon R et
d’un cylindre de même rayon et de
hauteur h.
Peut-on trouver h pour qu’ils aient
le même volume
R
R
h
Pour les exercices 83 à 87, résoudre les équations
données
83 a. 4x2
= 3x
b. ( 2x−1) ( x+
3)=
0
c. 3x( x−1)= 5( x−1) d. 2x+ 3= x 2 + 3
Aide : exercice résolu 6
2
84 a. ( x − 2) = 0
b. ( 2x−1) ( 4−
x)
c. x+ ( x−2)=−
1 d. x( x− 2)=−
1
Résoudre une équation
78 Peut-on résoudre chacune des équations suivantes
(sans la transformer) en appliquant la règle : « un produit
est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul »
Si oui, la résoudre.
a. ( x−1) ( 2x+
3)=
0 b. x2 ( x+
3)=
0
c. 4x2
+ 5x
= 0
d. ( 2x+
3) ( x+
6)=
1
e. ( 2x−
5) ( x+
1)= 0 f. ( 2x−
5) ( x+
4)− 1=
0
79 Après avoir factorisé le premier membre s’il ne l’est
pas, résoudre les équations suivantes :
a. 3x( 2x+
5)= 0
b. 5x2
+ 12x
= 0
c. x3 − 5x
= 0
d. ( 2x−1)× ( x+
1)=
0
80 Même exercice que le 79 avec :
a. 5x2
+ x = 0
b. x3 + 4x
= 0
c. x3 − 2x2
= 0
d. 4x 2
− 1=
0
81 Apprendre à prévoir les calculs
Exemple Dans 2x2
+ 3x− 5, on dit que : 2 x 2 est le « terme
en x 2 », 3 x est le « terme en x » et −5 le « terme constant ».
1. Dans chacun des cas suivants, sans faire le
développement complet, déterminer de tête le « terme
en x 2 » que l’on aurait en développant :
a. A( x)= x( x+
1 )
b. B( x)= 2x+ ( x−2)
2
c. C( x)= ( 2x−1)
2 d. D( x)= ( 4x−1) ( x+
4)
2. En déduire parmi les équations suivantes celles qui
vont se ramener à une équation du premier degré après
développement. Résoudre celles-ci uniquement.
a. A( x)= B( x) b. A( x)= C( x)
c. C( x)= D( x) d. A( x)= D( x)
82 L’équation suivante se ramène-t-elle en développant
à une équation du 1 er degré Si oui, la résoudre.
a. 2 1 3
2 2
x( x−
)− = x + ( x+
1)
2
b. ( 3x+
1) − ( x+
1) ( 3x+
4)=
0
2
c. 3− ( x+
4) = 4( x+
5)−
x2
85 a. ( x+
1) 2 − 16x
2 = 0 b. 3 x
3 + 2 x
2 = 0
3 2
c. 2x
= 5x
d. 16 x = 24 x
3 2
86 a. x( x+ 4)=−
4 b. ( x+
1) − ( x+
1) = 0
c. 4
2
2
x − 2x = 6( 2x−1) d. ( x+
2) −3x− 6=
0
87 a. 9x2
− 4x = 2x− 1 b. ( 2x+
1) 2 = 4x
2 −1
2
c. 4( x+
1) = 2( x+
1) ( 2x−
3) d. x 4 − 16 = 0
88 Proposer une équation ayant pour solutions :
a. 4 b. 2 et 0
c. 2 et − 2 d. −2 , 2 3 et 4
89 Soit l’équation 3x3 = 2x2
+ 3x− 2.
1. Grâce à la calculatrice trouver des solutions en
précisant si ce sont des solutions exactes ou approchées.
2. Résoudre avec un logiciel de calcul formel.
Aide : exercices résolus 6 et 4
90 Résoudre à l’aide d’un logiciel de calcul
formel les équations suivantes :
a. x2 −2x− 1= 0
b. x3 − 5x2
= 5x−3
91 Choisir la « bonne forme »
2
Soit f ( x)= ( x−4) + 2x( x+
5)−
17.
1. Démontrer que pour tout x réel, on a :
f ( x)= 3x2 + 2x−1
et f ( x)= ( 3x−1) ( x+
1 ).
2. Quelle est la forme développée de f ( x) Quelle est la
forme factorisée de f ( x)
3. Traiter chacune des questions suivantes, en choisissant
la forme qui vous semble la mieux adaptée :
a. Calculer f ( 0) b. Résoudre f ( x)= 0
c. Calculer f ( − 1 )
d. Résoudre f ( x)=− 1
2
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 97

92 Choisir la « bonne forme »
2
Soit f ( x)= ( x+
1) −16. Grâce aux résultats ci-dessous
obtenus sur Xcas, choisir l’expression de f ( x) la mieux
adaptée pour :
a. résoudre f ( x)= 0
b. résoudre f ( x)=− 16
c. résoudre f ( x)=− 15
d. déterminer le
minimum de f sur .
Pour aller plus loin
Démontrer par le calcul les résultats obtenus sur Xcas.
93 Choisir la « bonne forme »
Soit g la fonction définie par g( x)=− 2x2 + 8x−8
sur
et g
sa courbe représentative.
( ) =− ( − )
1. Démontrer que pour tout x réel, g x 2 x 2 2 .
2. Déterminer le point d’intersection de g
et de l’axe des
ordonnées.
3. Déterminer s’ils existent les points d’intersection de la
courbe g
avec l’axe des abscisses.
4. Déterminer les abscisses des points de g
ayant pour
ordonnée − 8.
94 Sans calculatrice
Associer à chaque courbe ci-dessous la fonction f, g ou h
qu’elle représente avec :
f ( x)= ( x−1) ( x−
3 ) g( x)=− 2( x+
1) ( x−
4)
h( x)= 1
( x+
2) ( x+
4)
2
Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
2. Utiliser l’algorithme de dichotomie (voir page 91)
entre a = 0 et b = 4 pour trouver une valeur approchée
de la solution de cette équation à 0,1 près. (On pourra
présenter les résultats dans un tableau analogue à celui
de la page 91).
Pour aller plus loin
Adapter l’algorithme de la page 91 à cet exercice.
97 ALGORITHMIQUE Dichotomie
Même énoncé que l’exercice 96 pour la fonction f définie
par f ( x)= x3 − 3x+
2 sur I =− [ 1 ; 1]
et l’équation f ( x)= 1.
98 Existe-t-il des nombres réels égaux à la moitié de
leur carré Au double de leur carré
99 Dans une parcelle carrée
de côté x (en m), on creuse un
bassin carré en laissant sur deux
des côtés une bordure de
largeur 3 m.
1. Parmi les expressions suivantes,
indiquer celle(s) qui donne(nt)
l’aire de la bordure :
x
a. ( x+
3) 2 − x2 b. 6 x c. 6x − 9
d. x2 2
−( x−3) e. x( x− 3)
2. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire de la bordure est-elle
27 m²
100 Un terrain carré a pour côté x (en m).
On augmente un côté de 20 m et on diminue un autre de
10 m pour obtenir un rectangle qui a la même aire que le
carré. Que vaut x
101 Le volume de la boîte
ABCD est un carré de côté 10 cm. On enlève un même
carré à chaque coin de ABCD pour obtenir le patron d’une
boîte.
A M R B
P
N
95 Soit f ( x)= 4x3 − 24x2 + 36x
sur .
1. Factoriser f ( x).
2. Déterminer les points d’intersection de la courbe
représentative de f avec l’axe des abscisses.
96 ALGORITHMIQUE Dichotomie
Soit f la fonction définie par f ( x)= 2 x+
x sur I = [ 0 ; 4]
.
1. Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de
f et le nombre de solutions de l’équation f ( x)= 4 sur
l’intervalle I.
D
C
1. Montrer que le volume de la boîte est
V = AM× ( 10− 2×
AM)
2 .
2. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, déterminer
comment obtenir une boîte de 72 cm 3 .
102 Stratégies
Donner plusieurs stratégies possibles pour résoudre de
façon exacte ou approchée l’équation : 3x2
− 5x = 4x+ 2.
98

Avec des quotients
Un peu de logique
103 On dispose de deux conducteurs ohmiques, l’un
de résistance R 1 = 4 Ω et l’autre de résistance inconnue
R 2 . En les associant en parallèle, on mesure la résistance
équivalente R éq = 3 Ω. Déterminer R 2 .
Rappel
110 ET, OU et négation
Les nombres réels p, q, r, s, t sont tels que :
pqr = 1, rst = 0 et spr = 0.
Quels nombres doivent être égaux à 0
Source : SAT
R 1
1
=
1
+
1
R eq R1 R2
R 2
104 Résoudre les équations suivantes :
a. x −1
x + 1 = 0 b. 2 x + 10 = 0 c. x − 1 = 3
x
x
105 Résoudre les équations suivantes :
2
a. x − 1 = 2 b. x x
x − 2
2
+ 2 + 1
= 0 c.
3
0
4 x
x −1
2x
− 6
=
106 Vrai ou Faux
Est-il exact d’écrire, pour tout réel x non nul,
1
a.
2 1
x
= 2 x
b. 1 1
2
= 2 x
x
107 1. Choisir un nombre strictement positif et lui
ajouter son inverse. Recommencer plusieurs fois et
donner la plus petite somme obtenue.
2. Soit g( x)= x+ 1 pour tout x ∈ ] 0; +∞[
.
x
( x −1)
2
a. Démontrer que g( x)− 2 = .
x
b. En déduire le minimum de g sur ] 0;+∞[ et pour
quelle valeur de x il est obtenu.
108 Soit a un nombre réel strictement positif.
1. Quelle est l’aire de ce rectangle
a
2. Exprimer le périmètre P( a) de ce rectangle.
( a − )
3. Montrer que P( a)= 4 +
2 1 2 pour tout a 0.
a
4. Quel est le périmètre minimal pour un tel rectangle
109 On prend deux nombres strictement positifs. La
somme des inverses de ces deux nombres est-elle toujours
égale à l’inverse de la somme de ces deux nombres
1
a
source : SAT
111 Les significations de « un »
Vrai ou faux
1. Un entier qui se termine par 3 a son carré qui se
termine par 9.
2. Un entier qui se termine par 5 a son carré qui se
termine par 25.
3. Un entier qui se termine par 9 a son carré qui se
termine par 81.
112 Négation
1. Cette proposition est-elle vraie ou fausse
« Pour tout nombre entier naturel n, n2 + 11n+ 11est un
nombre premier ».
2. Écrire la négation de cette proposition.
Analyser une production
113
y
La fonction f est représentée
4
ci-contre.
f
3
1. Lire graphiquement le
2
minimum de f.
1
2. Résoudre graphiquement
l’équation f ( x)= 0 .
−1 1 2 3 x
−1
3. La fonction f est définie
sur [ − 1 ; 3]
par f ( x)= x2 − 2x+
0, 99.
Critiquer les résultats précédents.
114 À vous de corriger !
Des élèves ont résolu l’équation 3−( x−4)= 2x + 5.
1. Trouver et expliquer les erreurs commises :
Clara Paul Leila
3−( x−4)= 2x+
5
− 2= 2x+ x+
4
− 6=
3x
3−( x−4)= 2x+
5
3− x+ 4= 2x+
5
− 3x
=− 2
3−( x−4)= 2x+
5
3− x+ 4= 2x+
5
− 3x
=− 2
x =− 2
x = 1
x = − 2
3
2. Écrire un corrigé en justifiant chaque étape.
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 99

Travail personnel
QCM Choisir la bonne réponse
Réponses page 341
115 Les courbes ci-dessous représentent les fonctions f
et g. Alors :
a. g( 0)=− 3 et 1
b. l’équation f( x)= g( x) a pour solution 2,6
c. les solutions de l’équation f ( x)= 4 sont − 3 et 1
d. f ( x)=−x2 − x+
5.
y
6
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x
−1
−2
g
f
116 L’équation 2( x−
5)= 5x− 2 a pour solution :
a. −2,67 b. − 8 c. 2,67 d. 8
3
3
117 ( x − 3)
2 a pour forme développée :
a. x 2 − 9 b. x 2 − 6 c. x2 − 6x+ 6 d. x2 − 6x+
9
118 2( x −1) 2 est une autre écriture de :
a. 2× ( x−1)× 2× ( x −1)
b. 2× ( x−1)× ( x−1)
c. 2× ( x−1)× 2× ( x + 1)
d. 2× ( x−1)× ( x+
1)
119 Sans calculatrice
Les solutions de l’équation x3 + 2x2
−11x− 12= 0 sont :
a. – 4 ; − 1 ; 3 b. − 4 ; − 3 ; − 1
c. − 1 ; 3 ; 4 d. – 3 ; 1 ; 4
120 Pour tout x réel, x2 + 25− 10 x est égal à :
2
a. ( x+
5) −10x
b. x2 + 15x
c. ( x+
5) ( x−
5 )
d. ( x − )
5 2
121 On donne les formes suivantes de f ( x) :
(A) f ( x)= x( x−1 )
(B) f ( x)= x2
−x
2
( ) +
(C) f ( x)= x−
1
2
3
4
2
(D) f ( x)= ( x−1) −x−1
1. Pour trouver les points d’intersection de l’axe des
abscisses et de la courbe représentant f, la forme la mieux
adaptée est :
a. ( A) b. () B c. ( C) d. ( D)
2. Pour trouver le minimum de f sur , la forme la mieux
adaptée est :
a. ( A) b. () B c. ( C) d. ( D)
122 Un carré ABCD devient un rectangle lorsque l’on
réduit AB de 5 cm et AD de 6 cm.
Ce rectangle a pour aire 182 cm².
L’aire du carré ABCD est-elle :
a. 25 cm² b. 36 cm² c. 256 cm² d. 361 cm²
Source : SAT
VRAI / FAUX
Réponses page 341
123 Il existe x réel tel que x − 2x+ 1= ( x−1) .
124
2
L’expression ( 2x+
4) ( x−
5) − 1est factorisée.
128 Pour l’équation x3 −x2 −6x− 4= 0, les
solutions obtenues avec un logiciel de calcul formel sont :
− 1 ; 1+ 5 ; 1− 5.
2
125 La forme factorisée de ( x−1) + ( 2+
3x) ( 1−
x)
est
( x−1) ( − 2x−3 ).
126 L’équation x2 = 4 x a pour unique solution x = 4 .
127 3 et − 3 sont solutions de l’équation :
x2 + 2x− 5= 2x+ 4.
129 L’équation 2 x + 7 = 0 a pour solutions 4 et – 3,5.
x − 4
y
130 La fonction f représentée
ci-contre peut être la fonction
définie sur par :
f ( x)= ( 2x+
0, 86) ( 2, 3−
x)
.
0
f
x
100

Travail personnel
Faire le point sur les méthodes
Des questions souvent rencontrées
Exemples
Développer, factoriser des expressions simples. Exercices résolus 1, 2 , 3 , 4
Identifier la forme la mieux adaptée d’une expression en vue de la résolution d’un problème donné. Exercices résolus 2, 6
Résoudre une équation du premier degré ou se ramenant au premier degré. Exercices résolus 5, 6
Associer une lecture graphique et une résolution algébrique. Exercice résolu 6
Utiliser une calculatrice ou un logiciel de calcul formel si nécessaire. Exercices résolus 2, 4
Évaluer ses capacités
Réponses page 341. Résolutions détaillées sur le site
131 1. Par lecture graphique :
a. lire f ( − 1 )
b. résoudre f ( x)= 5
c. résoudre f( x)= g( x) d. résoudre g( x)= 0
y
5
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 −1
−2
−3
−4
−5
1
f
2 3 4 x
2. Les fonctions f et g sont données par les expressions
suivantes : ( x−1) ( x+
3 ) et ( 2−
x) ( x −1)
.
Comment peut-on reconnaître l’expression de f et celle de
g sans utiliser la calculatrice
3. Résoudre par le calcul l’équation f( x)= g( x).
Quel contrôle peut-on faire
4. Montrer que pour tout x réel, f ( x)= x2 + 2x−3
Résoudre l’équation f ( x)=−4x−12. Comment contrôler
graphiquement le résultat
g
132 ABCD est un rectangle tel que AB = 10 et AD = 6
(en cm). M étant un point quelconque du segment [ AD],
on construit le carré AMPN et le rectangle CQPR comme
indiqué sur la figure.
M
D
A
Q
N
P
On pose AM = x (en cm). On note ( x) l’aire en cm² de la
partie colorée de la figure.
1. a. Faire une figure avec x = 4 .
b. Déterminer, dans ce cas, CQ, CR puis ( 4).
2. Montrer que, pour tout x de [ 0 ; 6],
( x)= x 2 + ( 10 −x) ( 6 − x)
.
3. En déduire que, pour tout x de [ 0 ; 6],
( x)= 2x2 2
− 16x+
60 et ( x)= 2( x−4) + 28
4. Quelle est l’aire minimale de la partie colorée Pour
quelle position de M est-elle obtenue
5. On veut déterminer pour quelles valeurs de x
l’aire de la partie colorée est égale à 30 cm².
Expliquer la (les) démarche(s) que vous pourriez utiliser
pour résoudre ce problème avec des outils de votre
choix : calculatrices ou logiciels divers. Préciser si vous
obtiendriez ainsi des solutions exactes ou approchées.
C
B
R
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 101

Approfondissement
133 Le point M appartient à [ AB], on construit les demidisques
de diamètres [ AB], [ AM] et [ BM].
A M B
On donne AB = 8 et on pose AM = 2 x et on note f ( x)
l’aire de la partie colorée en orange.
1. À quel intervalle appartient x
2. Démontrer que f ( x)= π( x 2 − 4x+
8 ).
3. L’aire de la partie orange peut-elle être égale à celle de
la partie colorée en bleu
134 ABCDEFGH est un cube de côté 6 cm. Pour tout x de
[ 0 ; 6] on place M sur [ AB], N sur [ AE] et Q sur [ AD] tels
que AM = EN = AQ = x .
E
N
Q
S
P
H
T
D
R
F
A M B
On note V ( x) le volume du parallélépipède rectangle
AMRQNPTS. La fonction V est représentée ci-dessous :
y
30
25
20
15
10
5
1
2 3 4 5 6 x
1. Lire graphiquement des valeurs approchées des
antécédents de 16 par V.
2. Justifier que, pour tout x de [ 0 ; 6], V ( x)= x 2 ( 6 −x)
.
3. a. Démontrer que, pour tout x de [ 0 ; 6],
V ( x)− 16 = ( 2−x) ( x−2−2 3) ( x− 2+
2 3)
b. Résoudre l’équation V ( x)= 16.
Quel(s) contrôle(s) peut-on effectuer sur les solutions
G
C
135 Tartre et consommation d’énergie
Les tuyaux utilisés en plomberie s’entartrent au fil du temps
au contact de l’eau. Pour un type de tuyau, une épaisseur
de tartre x (en mm) entraîne une augmentation de y % de la
consommation d’énergie pour produire la même quantité
d’eau chaude avec y=− 1
x 2 + 8 x
4
pour x ∈[ 0 ; 14 ] .
1. Calculer le pourcentage d’énergie consommée en plus
pour une épaisseur de tartre de 1 mm.
2. On cherche l’épaisseur de tartre qui, pour la même
production d’eau chaude, a fait passer la consommation
d’énergie de 1 200 kWh à 1 380 kWh.
a. Montrer qu’il s’agit de résoudre l’équation :
−
1
2
( x −16) + 64 = 15.
4
b. Déterminer l’épaisseur de tartre.
136 Les longueurs sont exprimées en cm.
ABC est un triangle isocèle en A avec AB = 7 et BC = 9.
On place un point M sur [ AB].
La parallèle à ( BC) passant par M coupe [ AC] en N.
B
M
x
A
On pose x = AM. On note p et q les fonctions qui à x
associent les périmètres de AMN et MNCB.
1. Donner les ensembles de définition de p et q.
2. a. Exprimer AN et MN en fonction de x. En déduire p( x)
en fonction de x.
b. En déduire BM, CN puis q( x) en fonction de x.
3. Représenter graphiquement p et q (unités : 1 cm en
abscisse, 0,5 cm en ordonnée).
4. Déterminer graphiquement puis par le calcul la
position de M telle que :
a. MNCB ait pour périmètre 21 cm ;
b. AMN et MNCB aient le même périmètre. Comparer les
deux méthodes.
137 Deux nombres ont pour somme 314.
De combien augmente leur produit si on ajoute 9 à
chacun des deux
138 1. Calculer 1 −
1
;
1
−
1
; 1 −
1
;
1
−
1
.
2 3 3 4 4 5 999 1000
2. Calculer S =
1
+
1
+ … +
1
.
2 × 3 3 × 4 999×
1 000
N
C
102

139 Trouver x et y tels que x2 − y2 = 77 et x− y=11.
140 1. Soit m = 3 et n = 2.
a. Calculer a= m2 + n
2 , b= m2 −n2 et c= 2 mn.
b. Tracer le triangle de côtés a, b, c. Est-il rectangle
2. a. Montrer que, pour tous entiers m et n,
( m 2 − n 2 ) 2 + ( 2 mn) 2 = ( m 2 + n
2 ) 2 .
b. Donner les dimensions de deux autres triangles
rectangles à côtés entiers.
141 ALGORITHMIQUE Algorithme de Hörner
À la calculatrice, une instruction comme x ∧ 3 compte
pour 2 multiplications : x∧ 3 = x× x×
x.
1. Premier exemple
Soit f ( x)= x2 + 4x+
3 sur (forme A).
a. Vérifier que f ( x)= 3+ x( 4 + x)
pour tout x réel (forme H).
b. Combien d’opérations sont à effectuer avec la forme A
avec la forme H
c. On programme le calcul de f ( x) pour x variant de
0 à 2 avec un pas de 0,1. Combien d’opérations sont
nécessaires avec chacune des deux formes
2. Deuxième exemple
Reprendre les question a, b et c de la question 1
pour f ( x)= x4 + 2x3 − 3x2
+ 4x−1 (forme A)
et f ( x)=− 1+ x( 4 + x( − 3 + x( 2 + x)
))
(forme H).
3. Troisième exemple
Soit f ( x)= 4x7 + 2x6 + 3x5 − 4x4 + 2x3 − 3x2 + 4x−1.
a. Proposer la « forme H » associée.
b. Reprendre les questions 1.b et 1.c.
Pour aller plus loin
Quel est le gain obtenu en nombre d’opérations pour
f ( x)= x50 + x49 + x48 + … + x2 + x+
1
(On pourra programmer un algorithme pour effectuer un
calcul de ce gain.)
142 Par l’absurde
Est-il possible que x2 − 3x+ 4s’écrive pour tout x réel
comme un produit de la forme ( x+
1) ( ax+
b ) avec
a et b réels
143 Le choix de l’inconnue
On cherche tous les triangles rectangles dont les côtés
sont des entiers consécutifs.
Charlène appelle n la longueur du plus petit côté.
Maya appelle m la longueur du plus grand côté.
Chang appelle p la longueur du côté intermédiaire.
1. Comment Charlène va-t-elle exprimer les longueurs
des deux autres côtés en fonction de n
Quelle équation va-t-il obtenir
2. Reprendre la question 1 pour Maya et Chang.
3. Résoudre l’équation la plus simple et donner le(s)
triangle(s) solution(s).
144 1. Vérifier l’identité :
( a+ b−c) ( a+ b+
c)= ( a+
b) − c
2. Utiliser cette identité pour calculer :
( 2+ 3−
5) ( 2+ 3+
5)
2 2 .
145 Défi ! Sans calculatrice, calculer P :
P = ( 1+ 2+ 3+
5)× ( 1− 2+ 3+
5)
× ( 1+ 2− 3+
5)× ( 1+ 2+ 3−
5)
× ( 1− 2−
3+ 5)× ( 1− 2+ 3−
5)
× ( 1+ 2− 3−
5)× ( 1− 2− 3−
5)
Source : acad. Bordeaux
Très longtemps les physiciens ont dû faire des calculs à la
main très compliqués, des « calculs astronomiques » !
La tradition attribue au mathématicien anglais W.G.
Hörner l’invention (ou la redécouverte) en 1819 d’une
méthode efficace pour économiser des opérations !
Pour calculer 2x5 + 3x4 + 4x3 + 2x2
+ 5x+ 4 il faut
15 multiplications et 5 additions. En transformant
l’expression en 4+ x( 5+ x( 2+ x( 4+ x( 3+
2x ))))
il n’y a
plus que 5 multiplications et 5 additions à effectuer !
Cette méthode, appelée algorithme de Hörner, est
toujours utilisée pour gagner du temps de calcul avec
un ordinateur.
146 Défi !
Justifier l’égalité suivante :
99999999 2 + 2 0 000 2 = 100 000 001
2
.
147 Défi !
Sans calculatrice, déterminer l’entier
A tel que 33333332 + 44444442 = A2.
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 103

Prendre des initiatives
Ne pas hésiter à utiliser calculatrices ou logiciels.
148 Une astuce
15 2 = 225 ; 25 2 = 625 ; 35 2 = 1 225 ;
45 2 = 2 025 ; 55 2 = 3 025 ; 65 2 = 4 225.
Trouver une astuce pour calculer de tête ces carrés.
Est-elle toujours valable
149 On dit qu’un nombre entier est un carré parfait si
c’est le carré d’un entier.
Exemple : 1764 est un carré parfait car 1 764 = 42 2 .
Est-il vrai que les carrés qui se terminent par 6 (c’est-àdire
dont le chiffre des unités est 6) sont les seuls à avoir
un chiffre des dizaines impair
Source : EVAPM
150 Triangles rectangles à côtés entiers à volonté !
Vérifier que 49 = 24 + 25 et que 7, 24, 25 sont les côtés
d’un triangle rectangle.
En observant cet exemple, trouver une méthode
permettant de donner autant de triangles rectangles à
côtés entiers que l’on veut. Justifier.
151 Un vieux problème chinois
Une ville carrée de dimensions inconnues comprend
une porte au milieu de chaque côté. À l’extérieur de la
ville, vingt pas après la sortie nord, se trouve un arbre.
Si tu quittes la ville par la porte sud, marche quatorze
pas vers le sud puis 1 775 vers l’ouest et tu commenceras
tout juste à apercevoir l’arbre.
On cherche les dimensions de la ville.
Ce problème est issu des Neuf Chapitres sur l’art du
calcul. Cet ouvrage chinois date d’un peu avant ou un
peu après le début de notre ère. C’est un recueil de
problèmes ayant pour but de fournir des algorithmes
pour résoudre des problèmes quotidiens comme le
partage d’un champ, la répartition des impôts ou le
stockage des grains.
152 Qui a raison
On veut calculer 9x4 − y4 + 2y2
pour x = 10 864 et
y = 18 817. Rassembler les résultats obtenus avec un
maximum d’outils différents comme : TI82, TI collège,
Casio Graph 35, Casio collège, tableur, Scilab, etc.
Quelle est donc la valeur de 9x4 − y4 + 2y2
Exposé Expliquer d’où viennent les limites de calcul
d’une calculatrice ou d’un tableur. On donnera des
exemples précis qui permettent de prendre en défaut
l’un ou l’autre en expliquant d’où viennent les erreurs.
Une ressource : APMEP n°440.
153 Basic algebra
1. Substitution in formulae : it means replacing letters
in formulae or expressions with numbers.
When replacing letters with numbers, use brackets to
avoid problems with minus signs.
Ex. Work out the value of ab+ c if a =−3, b = 4
and c = 5.
ab+ c = ( −34 ) + 5=− 12+ 5=−7.
Calculate x2 − xy+ 1 if x = 1 and y =−2.
3
2. Expansion and simplification : Expand in
mathematics means multiply out. When expanding
brackets, the term outside the brackets is multiplied by
each term inside the brackets.
Ex. ( 4x+
1) ( 2x−
3)
First, expand : 4x× 2x+ 4x× ( −3)+ 1× 2x+ 1× ( −3)
Second, simplify : 8x2 − 12x+ 2x− 3= 8x2
−10x− 3.
3. Factorisation : it is the opposite of expansion.
Factorisation puts an expression back into several
factors. To factorise an expression, find the common
factor of terms.
Ex. 6x2
− 9x
has a common factor of 3 x in each term.
So, 6x2
− 9x= 3x× 2x− 3x× 3= 3x( 2x−3).
Check your factorisation by expand the final answer.
4. ALGORITHM :
a. Write down the algebraic expression with the
following algorithm.
Think of a number. Double your number. Add 10. Divide
by 2. Subtract the original number.
b. Explain the following algorithm : Ask a ; ask b ; (if a ≠ 0
then x =− b else (if b ≠ 0 then there’s no solution else
a
the set of solutions is )).
c. Give an algorithm to solve a linear equation
ax+ b= cx+ d, with a, b, c, d real numbers.
104