pour tout x - Didier

Prendre des initiatives
Ne pas hésiter à utiliser calculatrices ou logiciels.
148 Une astuce
15 2 = 225 ; 25 2 = 625 ; 35 2 = 1 225 ;
45 2 = 2 025 ; 55 2 = 3 025 ; 65 2 = 4 225.
Trouver une astuce pour calculer de tête ces carrés.
Est-elle toujours valable
149 On dit qu’un nombre entier est un carré parfait si
c’est le carré d’un entier.
Exemple : 1764 est un carré parfait car 1 764 = 42 2 .
Est-il vrai que les carrés qui se terminent par 6 (c’est-àdire
dont le chiffre des unités est 6) sont les seuls à avoir
un chiffre des dizaines impair
Source : EVAPM
150 Triangles rectangles à côtés entiers à volonté !
Vérifier que 49 = 24 + 25 et que 7, 24, 25 sont les côtés
d’un triangle rectangle.
En observant cet exemple, trouver une méthode
permettant de donner autant de triangles rectangles à
côtés entiers que l’on veut. Justifier.
151 Un vieux problème chinois
Une ville carrée de dimensions inconnues comprend
une porte au milieu de chaque côté. À l’extérieur de la
ville, vingt pas après la sortie nord, se trouve un arbre.
Si tu quittes la ville par la porte sud, marche quatorze
pas vers le sud puis 1 775 vers l’ouest et tu commenceras
tout juste à apercevoir l’arbre.
On cherche les dimensions de la ville.
Ce problème est issu des Neuf Chapitres sur l’art du
calcul. Cet ouvrage chinois date d’un peu avant ou un
peu après le début de notre ère. C’est un recueil de
problèmes ayant pour but de fournir des algorithmes
pour résoudre des problèmes quotidiens comme le
partage d’un champ, la répartition des impôts ou le
stockage des grains.
152 Qui a raison
On veut calculer 9x4 − y4 + 2y2
pour x = 10 864 et
y = 18 817. Rassembler les résultats obtenus avec un
maximum d’outils différents comme : TI82, TI collège,
Casio Graph 35, Casio collège, tableur, Scilab, etc.
Quelle est donc la valeur de 9x4 − y4 + 2y2
Exposé Expliquer d’où viennent les limites de calcul
d’une calculatrice ou d’un tableur. On donnera des
exemples précis qui permettent de prendre en défaut
l’un ou l’autre en expliquant d’où viennent les erreurs.
Une ressource : APMEP n°440.
153 Basic algebra
1. Substitution in formulae : it means replacing letters
in formulae or expressions with numbers.
When replacing letters with numbers, use brackets to
avoid problems with minus signs.
Ex. Work out the value of ab+ c if a =−3, b = 4
and c = 5.
ab+ c = ( −34 ) + 5=− 12+ 5=−7.
Calculate x2 − xy+ 1 if x = 1 and y =−2.
3
2. Expansion and simplification : Expand in
mathematics means multiply out. When expanding
brackets, the term outside the brackets is multiplied by
each term inside the brackets.
Ex. ( 4x+
1) ( 2x−
3)
First, expand : 4x× 2x+ 4x× ( −3)+ 1× 2x+ 1× ( −3)
Second, simplify : 8x2 − 12x+ 2x− 3= 8x2
−10x− 3.
3. Factorisation : it is the opposite of expansion.
Factorisation puts an expression back into several
factors. To factorise an expression, find the common
factor of terms.
Ex. 6x2
− 9x
has a common factor of 3 x in each term.
So, 6x2
− 9x= 3x× 2x− 3x× 3= 3x( 2x−3).
Check your factorisation by expand the final answer.
4. ALGORITHM :
a. Write down the algebraic expression with the
following algorithm.
Think of a number. Double your number. Add 10. Divide
by 2. Subtract the original number.
b. Explain the following algorithm : Ask a ; ask b ; (if a ≠ 0
then x =− b else (if b ≠ 0 then there’s no solution else
a
the set of solutions is )).
c. Give an algorithm to solve a linear equation
ax+ b= cx+ d, with a, b, c, d real numbers.
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