pour tout x - Didier

1 Égalité : pour tout x ou pas
Énoncé
Les égalités suivantes sont-elles vraies pour tout réel x
2 2
a. 1+ x+ x2
= 2x + 1
b. ( x+
1) −( x−1) = 4x.
Solution
a. On peut tester sur quelques valeurs :
• pour x = 0 , on a bien 1+ x+ x
2
= 1et 2x + 1=
1
• pour x = 1, on a aussi 1+ x+ x
2
= 3 et 2x + 1=
3
• pour x = 2, 1+ x+ x
2
= 7 mais 2x + 1= 5 et 7≠ 5.
Donc l’égalité n’est pas vraie pour tout réel x.
b. On peut tester « à la main » ou à la calculatrice
2
avec Y1= ( X + 1) −( X −1)
2 et Y2 = 4X.
L’égalité semble vraie pour les valeurs de x choisies.
Démontrons-la en développant : pour tout x réel,
2 2
( x+
1) −( x−1) = x2 + 2x+ 1− x2
− 2x+
1
( )
2 2 2 2
donc ( x+
1) −( x−1) = x + 2x+ 1− x + 2x−1
2 2
Donc ( x+
1) −( x−1) = 4x
pour tout x réel.
Méthode
Pour démontrer que
deux expressions :
• ne sont pas « égales
pour tout x », il suffit de
trouver une valeur de x pour
laquelle il n’y a pas égalité :
c’est un contre-exemple ;
• sont « égales pour tout
x », des exemples ne suffisent
pas. Il faut le démontrer
par le calcul algébrique
(« avec x »).
Voir exercices 22 et 23
2 Développer puis choisir la bonne forme
Énoncé
AB=8 et M appartient à [ AB]. AMEF et MBGH sont des carrés. On pose x = AM avec x ∈[ 0;8. ]
L’aire totale de la figure est ( x)= x + ( 8 −x)
.
2 2
F
E
H
G
1. Démontrer que, pour tout x de [ 0;8],
( x)= 2x2 − 16x+
64 et ( x)= 32+ 2( x−4)
2 .
2. Calculer ( 4) puis montrer que ( x) ( 4 ) pour tout x de [ 0;8]. Interpréter en terme d’aire.
Solution
1. Développons « à la main » ou avec un logiciel l’expression
de ( x). Pour tout x de [ 0;8],
( x)= x + ( 8 −x)
2 2
( x)= x + 64 − 16 x+
x
2 2
Avec Xcas
( x)= 2x2 − 16x+
64.
De même, pour tout x de [ 0;8],
2
32+ 2( x−4) = 32+ 2
2
8 16 2
2
( x − x+
)= x − 16 x + 64.
On retrouve la même expression donc, pour tout x de [ 0;8], ( x)= 32+ 2( x−4)
2 .
2. Utilisons la dernière expression de ( x) : ( 4)= 32+ 2× 0= 32.
Un carré est toujours positif ou nul donc 2( x − 4) 2 l’est aussi.
De ( x)= 32+ 2( x−4)
2 , on déduit que ( x) 32 donc ( x) ( 4 ) pour tout x de [ 0;8].
L’aire est minimale pour x = 4 donc pour M milieu de [ AB].
A
M
Méthode
Pour démontrer
que pour tout x réel,
f( x)= g( x),
on peut transformer :
• f ( x) pour arriver à g( x).
• g( x) pour arriver à f ( x).
• f ( x) et g( x) pour arriver
à une même 3 e expression
(comme dans cet exercice).
• f( x)− g( x) pour obtenir 0.
Conseil
Bien observer les expressions
de f ( x) pour choisir
celle qui est la mieux adaptée
à la question posée.
B
Voir exercices 40 et 41
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
85