pour tout x - Didier

Approfondissement
133 Le point M appartient à [ AB], on construit les demidisques
de diamètres [ AB], [ AM] et [ BM].
A M B
On donne AB = 8 et on pose AM = 2 x et on note f ( x)
l’aire de la partie colorée en orange.
1. À quel intervalle appartient x
2. Démontrer que f ( x)= π( x 2 − 4x+
8 ).
3. L’aire de la partie orange peut-elle être égale à celle de
la partie colorée en bleu
134 ABCDEFGH est un cube de côté 6 cm. Pour tout x de
[ 0 ; 6] on place M sur [ AB], N sur [ AE] et Q sur [ AD] tels
que AM = EN = AQ = x .
E
N
Q
S
P
H
T
D
R
F
A M B
On note V ( x) le volume du parallélépipède rectangle
AMRQNPTS. La fonction V est représentée ci-dessous :
y
30
25
20
15
10
5
1
2 3 4 5 6 x
1. Lire graphiquement des valeurs approchées des
antécédents de 16 par V.
2. Justifier que, pour tout x de [ 0 ; 6], V ( x)= x 2 ( 6 −x)
.
3. a. Démontrer que, pour tout x de [ 0 ; 6],
V ( x)− 16 = ( 2−x) ( x−2−2 3) ( x− 2+
2 3)
b. Résoudre l’équation V ( x)= 16.
Quel(s) contrôle(s) peut-on effectuer sur les solutions
G
C
135 Tartre et consommation d’énergie
Les tuyaux utilisés en plomberie s’entartrent au fil du temps
au contact de l’eau. Pour un type de tuyau, une épaisseur
de tartre x (en mm) entraîne une augmentation de y % de la
consommation d’énergie pour produire la même quantité
d’eau chaude avec y=− 1
x 2 + 8 x
4
pour x ∈[ 0 ; 14 ] .
1. Calculer le pourcentage d’énergie consommée en plus
pour une épaisseur de tartre de 1 mm.
2. On cherche l’épaisseur de tartre qui, pour la même
production d’eau chaude, a fait passer la consommation
d’énergie de 1 200 kWh à 1 380 kWh.
a. Montrer qu’il s’agit de résoudre l’équation :
−
1
2
( x −16) + 64 = 15.
4
b. Déterminer l’épaisseur de tartre.
136 Les longueurs sont exprimées en cm.
ABC est un triangle isocèle en A avec AB = 7 et BC = 9.
On place un point M sur [ AB].
La parallèle à ( BC) passant par M coupe [ AC] en N.
B
M
x
A
On pose x = AM. On note p et q les fonctions qui à x
associent les périmètres de AMN et MNCB.
1. Donner les ensembles de définition de p et q.
2. a. Exprimer AN et MN en fonction de x. En déduire p( x)
en fonction de x.
b. En déduire BM, CN puis q( x) en fonction de x.
3. Représenter graphiquement p et q (unités : 1 cm en
abscisse, 0,5 cm en ordonnée).
4. Déterminer graphiquement puis par le calcul la
position de M telle que :
a. MNCB ait pour périmètre 21 cm ;
b. AMN et MNCB aient le même périmètre. Comparer les
deux méthodes.
137 Deux nombres ont pour somme 314.
De combien augmente leur produit si on ajoute 9 à
chacun des deux
138 1. Calculer 1 −
1
;
1
−
1
; 1 −
1
;
1
−
1
.
2 3 3 4 4 5 999 1000
2. Calculer S =
1
+
1
+ … +
1
.
2 × 3 3 × 4 999×
1 000
N
C
102