pour tout x - Didier

B. En pratique : comment factoriser une expression
Méthode
On peut aussi factoriser
en utilisant un logiciel de
calcul formel, voir exercice
résolu 4 page suivante.
Pour factoriser une expression « à la main » on analyse sa structure et on se pose un certain
nombre de questions.
Q1 : Est-ce une somme (ou une différence) De combien de termes
Q2 : Chaque terme est-il un produit ou peut-on l’écrire comme un produit
Quels sont les facteurs dans chaque terme Y a-t-il un facteur commun à tous les
termes
Sinon, Q3 : Peut-on utiliser une identité remarquable
Sinon, Q4 : Peut-on factoriser d’abord une partie de l’expression pour faire apparaître un
facteur commun ou une identité remarquable
Sinon, on développe en espérant pouvoir ensuite factoriser.
Exemple 1 Factoriser f ( x)= ( x+
1) ( 2x−
3)+ 4( x+
1. )
Q1 Cette expression est une somme de deux termes. f ( x)= ( x+
1)× ( 2x−3) + 4× ( x+
1)
Q2 Chaque terme est un produit de deux facteurs. f ( x)= ( x+
1) × ( 2x−
3) + 4×( x+
1)
( x + 1 ) est un facteur commun aux deux termes. f ( x)= ( x+
1) × ( 2x−
3) + 4×( x+
1)
On factorise. f ( x)= ( x+
1) × (( 2x−
3)
+ 4)
On réduit le second facteur. f ( x)= ( x+
1) ×( 2x+
1 ) pour tout x réel.
Exemple 2 Factoriser g( x)= 16 x − ( x+
1)
2 2
Q1 C’est une différence de deux termes. g( x)= 16 x −( x+
1)
Q2 Les termes sont des produits sans facteur
commun.
Q3 On a une différence de deux carrés a
2 2
− b . g( x)= ( 4 x) − ( x + 1)
2 2
2 2
On utilise a2 − b2
= ( a−b)× ( a+
b). g( x)= (( 4x)− ( x+
1)
) ×( ( 4x)+ ( x+
1)
)
On réduit chaque facteur. g( x)= ( 4x−x− 1) ×( 4x+ x+
1)
g( x)= ( 3x−1) ×( 5x+
1 ) pour tout x réel.
Exemple 3 Factoriser h( x)= x2 − 9+ 3( x−3)
Q1, Q2, Q3 : h( x) est une somme de trois termes.
On ne voit ni identité remarquable ni facteur
commun.
Q4 On peut factoriser x 2 − 9 : x2 − 9= ( x−3) ×( x+
3)
Ceci fait apparaître ( x − 3 )
h( x)= ( x−3) × ( x+
3) + 3×( x−
3)
comme facteur commun dans h( x) h( x)= ( x−3) × ( x+
3) + 3×( x−
3)
et permet de factoriser. h( x)= ( x−3) × (( x+
3)
+ 3)
On finit en réduisant. h( x)= ( x−3) ×( x+
6 ) pour tout x réel.
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