1. Divisibilité dans - Didier

➜ DÉMONSTRATIONS
■ Théorème de la division euclidienne dans
COURS
1. Existence de q et r
• Premier cas : Si 0 a<
b, le couple ( qr , ) = ( 0,
a)
convient.
• Second cas : Supposons maintenant a
b ; a et b sont alors deux entiers naturels strictement positifs.
Soit M l’ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a. L’entier
Dans , une partie non
2b× a appartient à M ( 2b×
a est un multiple de b strictement supérieur à vide admet un plus petit
a puisque b 1 et a ≠ 0 ) donc M est non vide. M admet donc un plus petit élément (propriété
élément, c’est-à-dire un multiple de b, strictement supérieur à a, tel que le admise).
multiple précédent soit inférieur ou égal à a. Il existe donc un entier q tel que
qb a < ( q + 1)b.
Comme b a, on a b a< ( q+
1)b
et donc 1 < q + 1 d’où 0 < q. On sait donc que q est un entier naturel.
Posons alors r=
a–
qb. Comme a, b et q sont des entiers, r est un entier.
De qb a, on déduit que r 0 donc r est un entier naturel. De a< ( q+
1)b,
on déduit que r<
b.
On a donc trouvé deux entiers naturels q et r tels que a= bq+
r avec 0 r<
b.
Conclusion : dans tous les cas, il existe un couple ( qr , ) d’entiers naturels tels que a= bq+
r, 0 r<
b.
2. Unicité de q et r
Supposons qu’il existe deux couples d’entiers ( qr , ) et ( q′ , r′ ) tels que :
a= bq+ r= bq′ + r′ (1), avec r et r′ tels que 0 r<
b et 0 r′ < b (2).
Montrons que ces couples sont en fait les mêmes.
De (1), on déduit que bq ( – q′ ) = r′ – r, avec q– q′ entier : r′ – r est un multiple de b.
De (2), on déduit que – b < – r 0 d’où par addition avec 0 r′ < b : – b < r′ – r < b.
Donc r′ – r est un multiple de b strictement compris entre – b et b. Il n’y en a qu’un, c’est 0. Par suite r=
r′.
En reportant dans (1), on obtient bq + r = bq′ + r d’où q= q′ car b ≠ 0. Le couple ( qr , ) est donc unique.
➜ EN PRATIQUE
Avec une calculatrice • Calcul du quotient et du reste de la division euclidienne de a par b, b > 0.
On calcule E( a⁄
b) où E( x)
désigne la Certains modèles disposent de fonctions « reste » et
partie entière de x, puis r=
a–
bq, ce qui « quotient » ; sur TI89 ou TI92, on trouve dans le catalogue
permet une programmation aisée. Ceci est les fonctions int et mod qui donnent quotient et reste.
un programme sur TI82 :
PROGRAM:DIVISEUC
:Prompt A, B
:Int(A/B) →Q
:A–B*Q →R
:Disp "Q= ",Q
:Disp "R= ",R
➜ APPLICATION
59
Déterminer a, b et c entiers tels que (1) : ----- a b -- c
= + + ---- , avec 0 b < 3, 0 c < 3.
3
3 2
L’égalité (1) s’écrit aussi 59 = 9a + 3b+ c= 33a ( + b) + c. Ayant 0 c < 3, cette relation est celle de la
division euclidienne de 59 par 3 avec pour reste c et quotient 3a+ b. D’où c = 2 et 3a+ b=
19.
À nouveau, l’égalité 19 = 3a+
b avec 0 b < 3 est celle de la division euclidienne de 19 par 3, avec pour
reste b et quotient a. D’où b = 1 et a = 6.
3 2
chapitre 1 Divisibilité dans ➥
13