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TP<br />
CD<br />
<strong>1.</strong> Sauts de puce<br />
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
10<br />
Au début, une puce est<br />
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sur la case numérotée 0 du circuit. Elle<br />
12<br />
effectue un premier bond qui l’amène sur la case<br />
n o 1 puis un deuxième en sautant par-dessus une case jusqu’à<br />
la case n o 3. Elle saute ensuite par-dessus deux cases jusqu’à la case<br />
n o 6 puis elle continue en sautant à chaque fois une case de plus. Il s’agit<br />
de répondre à la question suivante : la puce atteindra-t-elle toutes les cases du<br />
circuit <br />
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98<br />
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A. Observer quelques sauts<br />
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53 52 51 50 49 48 47<br />
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Pour vous faire votre propre idée sur la question, accompagnez la puce sur le circuit pendant<br />
quelques sauts (une bonne vingtaine) en cochant les cases atteintes par la puce, et répondez<br />
aux questions suivantes : <strong>1.</strong> Combien de sauts la puce effectue-t-elle avant de boucler son<br />
premier tour de circuit Sur quelle case la puce se trouve-t-elle alors 2. Au bout de combien<br />
de sauts la puce revient-elle pour la deuxième fois sur la case n o 10 3. La case n o 18 est-elle alors<br />
atteinte <br />
B. Modéliser la situation<br />
On désigne par u n<br />
le numéro de la case atteinte par la puce après le n e saut. (Par convention<br />
u 0 = 0.) <strong>1.</strong> Pendant le premier tour, trouver une relation entre u n et u n + 1 . Quelle est alors<br />
l’expression de u n en fonction de n 2. Justifier maintenant le résultat général suivant : u n<br />
est<br />
nn ( + 1)<br />
donné par les deux derniers chiffres de l’entier --------------------. 3. On suppose qu’une puce vient<br />
2<br />
de sauter pour la n e fois. Elle est sur la case u n . Où est une autre puce qui a, elle, effectué<br />
( n + 200) sauts ( 199 – n)<br />
sauts <br />
C. Préciser le parcours<br />
<strong>1.</strong> Expliquer pourquoi toutes les cases atteintes par la puce le seront<br />
<strong>dans</strong> les 99 premiers sauts. 2. Dresser un tableau indiquant<br />
toutes les cases atteintes par la puce et avec quelle<br />
fréquence elles seront atteintes pendant<br />
les 99 premiers sauts.<br />
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16 ➥ chapitre 1 Divisibilité <strong>dans</strong>
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