Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

Partie I : Soient r 0 < r 1 < · · · < r m , (m + 1) réels, m > 0, et P ∈ P m+1 le polynôme
défini par P (x) = (x − r 0 ) (x − r 1 ) · · · (x − r m ).
On considère la méthode de Newton appliquée à la résolution de l’équation P (x) = 0.
On rappelle que cette méthode génère la suite définie par :
On suppose que t 0 > r m .
t 0 donné, t l+1 = t l − P (t l)
P ′ (t l ) , l ≥ 0
I.1– Montrer que ∀ l, t l > r m et que la suite (t l ) l≥0 est décroissante.
I.2– En déduire que la suite (t l ) l≥0 est convergente et que
lim t l = r m .
l→+∞
Partie II : On considère le (k + 2)-ième polynôme orthogonal (de Legendre) Q k+1
associé à la fonction poids w ≡ 1 sur l’intervalle [−1, 1], et ses (k + 1) racines notées
x 0 < x 1 < . . . < x k .
II.1– Montrer que la méthode de Newton appliquée à Q k+1 , avec une initialisation t 0 > x k ,
génère une suite (t l ) l≥0 qui converge vers x k .
II.2– On suppose que les racines x k , x k−1 , . . . , x j (1 < j ≤ k) de Q k+1 ont été déjà
calculées et on se propose de calculer x j−1 .
On considère le polynôme R j ∈ P j défini par : R j (x) = Q k+1 (x)/ ∏ k
i=j (x − x i)
Montrer que la méthode de Newton appliquée au polynôme R j , avec une initialisation
t 0 = x j , génère une suite (t l ) l≥0 qui converge vers x j−1 .
II.3– En déduire un algorithme qui permet de calculer les (k + 1) racines x 0 , x 1 , . . . , x k
de Q k+1 .
Partie III : On s’intéresse dans cette partie au calcul des poids λ i intervenant dans
la formule de Gauss-Legendre donnée par (1). Rappelons que cette formule est de
degré 2k + 1.
Montrer que les poids λ i , i = 0, . . . , k, sont donnés par
λ i =
∫
1 1
Q k+1 (x)
Q ′ k+1 (x dx
i) −1 x − x i
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