Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

E.N.I.T. 4 juillet 2006
Examen – Session de rattrapage
Analyse Numérique
Enseignants : H. Chaker – H. El Fekih – M. Mnif
Classe : 1ère année GC – GI – GM
Durée : 1h30
Documents non autorisés
Exercice1
Soit g : [0, 1] → R une fonction de classe C 3 et P g sont polynôme d’interpolation de Lagrange
aux points 0, 1, 1. Le but de l’exercie est d’approcher la valeur D 2 2g ≡ g ′′ ( 1).
2
Soit ∆ 2 g l’expression définie par :
1– Montrer que :
∆ 2 g = 4g(0) − 8g( 1 2 ) + 4g(1)
∀ Q ∈ P 2 ,
D 2 Q = ∆ 2 Q
où P 2 désigne l’ensemble des polynômes de degré ≤ 2, avec
D 2 Q = Q ′′ ( 1 2 ) et ∆ 2Q = 4Q(0) − 8Q( 1 2 ) + 4Q(1)
.
2– Montrer que g[0, 1, 1] = 1∆ 2 2 2g, où g[0, 1 , 1] désigne la différence divisée d’ordre 2 de g aux
2
points 0, 1 2 , 1, i.e. le coefficient du monôme de plus haut degré dans P g.
3– On pose pour tout x ∈ [0, 1], r(x) = g(x) − P g (x).
3–a Montrer qu’il existe c ∈ [0, 1] tel que r ′′ (c) = 0.
3–b Montrer que D 2 g − ∆ 2 g = r ′′ ( 1 2 ).
3–c En déduire que
|D 2 g − ∆ 2 g| ≤ 1 2 sup |g (3) (x)|
x∈[0,1]