Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

E.N.I.T.
Unité Pédagogique de Mathématiques Appliquées
Examen – Analyse Numérique Date : 11 mars 1998
Enseignants : H. BOUHAFA – H. CHAKER – H. EL FEKIH
Durée : 1h30
Classe : 1ère année GC - GE - GI - GM
Documents non autorisés
Exercice : Soit g : [a, b] → [a, b] (a, b ∈ R) une fonction de classe C 1 telle que M ≡ max
x∈[a,b] |g′ (x)| < 1.
1– On considère la suite (x n ) n≥0 définie par :
x 0 ∈ [a, b], x n+1 = g(x n ), n ≥ 0
Montrer que la suite (x n ) n≥0 converge vers l’unique point fixe α de g.
2– Montrer que pour tout n ∈ N, il existe ε n tel que
où e n = x n − α.
3– On considère la suite (y n ) n≥0 définie par :
Montrer que
y n − α
lim
n→+∞ x n − α = 0
e n+1 = (g ′ (α) + ε n )e n avec lim
n→+∞ ε n = 0
y n = x n −
(x n+1 − x n ) 2
x n+2 − 2x n+1 + x n
, n ≥ 0
4– Comparer la vitesse de convergence des deux suites (x n ) n≥0 et (y n ) n≥0 .
Problème : On considère la formule de quadrature de Gauss-Legendre à k + 1 points, k ≥ 0, donnée par :
(1)
∫ 1
k∑
f(x) dx = λ i f(x i ) + E(f)
−1
i=0
où nous avons désigné par :
• E(f) le terme d’erreur (on ne s’intéresse pas ici à l’étude de E(f));
• x i , 0 ≤ i ≤ k, les nœuds d’intégration vérifiant : −1 < x 0 < x 1 < · · · < x k < 1;
• λ i , 0 ≤ i ≤ k, les poids d’intégration.
On rappelle que x 0 , . . . , x k sont les k +1 racines du (k +2)-ième polynôme orthogonal de Legendre Q k+1 ∈ P k+1
(qui est unitaire) associé à la fonction poids w ≡ 1 sur l’intervalle [−1, 1].
Le but de ce problème est de calculer les (k + 1) nœuds x 0 , . . . , x k ainsi que les k + 1 poids λ 0 , . . . , λ k de la
formule de quadrature de Gauss-Legendre donnée par (1).
Le problème est divisé en trois parties. La première est une étape préliminaire, la deuxième concerne le
calcul des nœuds x i et la dernière porte sur le calcul des poids λ i .
Partie I : Soient r 0 < r 1 < · · · < r m , (m + 1) réels, m > 0, et P ∈ P m+1 le polynôme défini par
P (x) = (x − r 0 ) (x − r 1 ) · · · (x − r m ).
On considère la méthode de Newton appliquée à la résolution de l’équation P (x) = 0. On rappelle que cette
méthode génère la suite définie par :
On suppose que t 0 > r m .
t 0 donné, t l+1 = t l − P (t l)
P ′ (t l ) , l ≥ 0
I.1– Montrer que ∀ l, t l > r m et que la suite (t l ) l≥0 est décroissante.
I.2– En déduire que la suite (t l ) l≥0 est convergente et que
lim t l = r m .
l→+∞