Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

Examen Analyse Numérique – Session de Rattrapage – 6 Juin 2008 2
On considère le système linéaire Ax = b, b ∈ R n , et la méthode itérative de relaxation dont une
itération est donnée par :
{ x (0) ∈ R n ,
où la matrice de relaxation L ω est donnée par :
L ω =
x (k+1) = L ω x (k) + ( D
ω − E) −1
b, k ≥ 0
( D
ω − E ) −1 ( 1 − ω
w D + F )
, ω ∈ R ∗ .
On suppose dans toute la suite que ω ∈]0, 1].
On pose L = D −1 E et U = D −1 F .
1–a Vérifier que la matrice L (respectivement U) est triangulaire inférieure (respectivement
supérieure).
1–b Montrer qu’on peut écrire L ω sous la forme : L ω = (I − ωL) −1 ((1 − ω)I + ωU), où I désigne la
matrice identité d’ordre n.
1–c Soit λ ∈ C. Montrer que
det(L ω − λI) = (−1) n (λ + ω − 1) n det(I − αL − βU)
où
(1) α =
λω
λ + ω − 1
, β =
ω
λ + ω − 1
1–d En déduire que si λ est une valeur propre de L ω telle que |λ| ≥ 1, alors on a det(I −αL−βU) = 0
2– Montrer que si |λ| ≥ 1, alors la matrice I − αL − βU est à diagonale dominante.
Remarque : si λ vérifie |λ| ≥ 1, alors |β| ≤ |α| ≤ 1.
3– En déduire que la méthode itérative de relaxation est convergente.
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