Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

4. On considère maintenant les suites de R n , (u k ) k≥0 et (v k ) k≥0 définies par :
(2)
( u
On pose w k k
=
u 0 = x 0 et z 0 = y 0
{ u k+1 = Bv k + a,
v k+1 = Au k+1 + b.
v k )
. Montrer qu’on peut écrire (2) sous la forme w k+1 = Dw k + d, où
D ∈ M 2n (R) et d ∈ R 2n sont à déterminer.
5. Donner une condition nécessaire et suffisante sur D pour que la suite (w k ) k≥0 soit
convergente.
6. Montrer que ϱ(D) = ϱ(AB).
7. Dans cette question, on se place dans le cas où les suites (z k ) k≥0 et (w k ) k≥0 définies
précédemment sont convergentes. Montrer qu’elles admettent la même limite. Comparer
alors le taux de convergence des méthodes itératives (1) et (2).
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