Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

E.N.I.T.
Unité Pédagogique de Mathématiques Appliquées
Examen – Analyse Numérique Date : 25 Janvier 2006
Enseignantes : H. CHAKER – H. EL FEKIH
Durée : 1h30
Classe : 1ère année GI - GC - Hydro-Météo
Documents non autorisés
Problème
Partie I
Soit C ∈ M n (R) une matrice symétrique semi-définie positive et γ un réel > 0. On note I la
matrice identité de M n (R).
I-1 Montrer que la matrice γI + C est symétrique définie positive et en déduire qu’elle est
inversible.
I-2 Montrer que les deux matrices γI − C et (γI + C) −1 commutent.
I-3 En déduire que la matrice D = (γI − C)(γI + C) −1 est symétrique.
I-4 Justifier l’existence d’une base orthonormale de vecteurs propres pour C. On notera cette
base (e 1 , ..........., e n ) et (λ 1 , ..., λ n ) les valeurs propres associées (comptées avec leur ordre
de multiplicité).
I-5 Montrer que, pour tout i = 1, .., n , e i est un vecteur propre de D et calculer la valeur
propre qui lui est associée en fonction de λ i et γ.
I-6 En déduire que |||D||| 2 ≤ 1.
( |||.||| 2 désigne la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle ||.|| 2 ).
I-7 Montrer que |||D||| 2 = 1 si et seulement si 0 est une valeur propre de C.
Partie II
Soit γ un réel > 0 et A ∈ M n (R) une matrice inversible donnée par A = C 1 + C 2 , où C 1
et C 2 sont deux matrices symétriques semi-définie positives. Pour la résolution numérique du
système linéaire Ax = b, où b ∈ R n , on propose la méthode itérative suivante :
(1)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x (0) donné dans R n
(γI + C 1 )y (k) = (γI − C 2 )x (k) + b, k ≥ 0
(γI + C 2 )x (k+1) = (γI − C 1 )y (k) + b, k ≥ 0
II-1 Ecrire la méthode (1) sous la forme :
x (k+1) = Bx (k) + c, k ≥ 0
où B ∈ M n (R) et c ∈ R n sont à déterminer.