Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

E.N.I.T. 2000/2001
Examen – Analyse Numérique Date : 2 Avril 2001
Enseignants : H. CHAKER – H. EL FEKIH – M. JAOUA
Classe : 1ère année GC – GE – GI – GM
Durée : 1h30
Documents non autorisés
Exercice 1
Soit A ∈ M n (R) une matrice symétrique et λ 1 , . . . , λ n
(comptées avec leur ordre de multiplicité) vérifiant :
ses valeurs propres
|λ 1 | ≤ · · · ≤ |λ n−2 | < |λ n−1 | < |λ n |
On considère la matrice B définie par B = A − λ n u n u t n, où u n est un vecteur
propre de A associé à λ n , tel que ‖u n ‖ 2 = 1.
1. Montrer que Bu n = 0.
2. Montrer que Bu i = λ i u i , 1 ≤ i ≤ n − 1, où u i est un vecteur propre de A
associé λ i , 1 ≤ i ≤ n − 1.
3. En déduire une méthode qui permet de calculer λ n−1 .
Exercice 2
Soit A ∈ M n (R) et B ∈ M m (R) deux matrices inversibles admettant chacune
une factorisation ”LU” :
A = L A U A ,
B = L B U B ,
L A ∈ M n (R) triangulaire inférieure à diagonale unité
U A ∈ M n (R) triangulaire supérieure
L B ∈ M m (R) triangulaire inférieure à diagonale unité
U B ∈ M m (R) triangulaire supérieure
Soit M ∈ M n+m (R) définie (par blocs) comme suit :
( ) A O
M =
O B
1. Montrer que M est inversible.
2. Montrer que M admet une factorisation LU unique.
3. Proposer alors une méthode pour résoudre le système linéaire Mx = b, où
b ∈ R n+m et donner le nombre d’opérations élémentaires.