Recueil d'Examens (1997 - 2009) Analyse Numérique - lamsin

si et seulement si u ∈ IR n est vecteur propre de A et ‖u‖ 2
= 1.
3– Soient v, w ∈ IR n .On considère les fonctions
g :
IR −→ IR
t ↦→ ρ(v + tw)
3-a Montrer que
h :
IR −→ IR n
t ↦→ f(v + tw)
g ′ (t) = 2(w t Av + tw t Aw)
h ′ (t) = Aw − g(t)w − g ′ (t)(v + tw)
3-b Montrer en utilisant un développement limité de la fonction h au voisignage de zéro, que
‖h(t)‖ 2 2 = (h(0), h(0)) + 2t(h′ (0), h(0)) + O(t 2 )
3-c Soit v ∈ IR n tel que ‖v‖ 2
= 1. On suppose que det(A − ρ(v)I) ≠ 0. On pose w = −v + αz,
où α ∈ IR et z ∈ IR n est la solution du système linéaire (A − ρ(v)I)z = v. Montrer que
(h ′ (0), h(0)) = − ‖Av − ρ(v)v‖ 2 2
et en déduire que (h ′ (0), h(0)) < 0.
4– Soit z et v ∈ IR n avec ‖v‖ 2
= 1 et t ∈ [0, 1]. Montrer qu’il existe α ∈ IR tel que pour
t ∈ [0, 1] on ait
‖(1 − t)v + tαz‖ 2 2 = 1
5– Soit v ∈ IR n , on suppose que det(A−ρ(v)I) = 0. Montrer qu’il existe w ∈ IR n avec ‖w‖ 2
= 1
vérifiant
(A − ρ(v)I)w = 0
6– On considère l’algorithme
Soient t ”assez petit” et v 0 tel que ‖v 0 ‖ 2
= 1
Pour k=1,2 ... faire
* Si det(A − ρ(v k−1 )I) = 0, alors il existe w k ∈ IR n tel que ‖w k ‖ 2
= 1 et
(A − ρ(v k−1 )I)w k = 0
λ k = ρ(v k−1 )
v k = w k
STOP
* Si det(A − ρ(v k−1 )I) ≠ 0 alors
Résoudre (A − ρ(v k−1 )I)z k = v k−1
Déterminer α k ∈ IR tel que ‖(1 − t)v k−1 + tα k z k ‖ 2 2 = 1
w k = −v k−1 + α k z k
v k = v k−1 + tw k
λ k = ρ(v k )
6-a Montrer en utilisant 3-, que dans le cas où det(A − ρ(v k−1 )I) ≠ 0, on a pour t ”assez petit”
‖f(v k )‖ 2
< ‖f(v k−1 )‖ 2
6-b Que représente l’élement (λ k , v k ) dans le cas où det(A − ρ(v k−1 )I) = 0
6-c On suppose que l’algorithme ci-dessus converge. Quelle est alors la limite de la suite (λ k , v k ).
□
2