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1.1 Modèles de matériaux dissipatifs 6
σ(t) =
∫ 0
−∞
ɛ(t − τ)h(τ)dτ (1.1)
Dans le domaine de Laplace, c’est équivalent à l’existence d’un module Λ complexe
tel que
σ(s) = Λ(s)ɛ(s) = (Λ ′ (s) + iΛ ′′ (s))ɛ(s) (1.2)
On peut donc envisager de résoudre les problèmes de viscoélasticité en considérant
des problèmes d’élasticité équivalents avec un module complexe dépendant de la
fréquence. C’est le principe d’équivalence élastique/viscoélastique décrit dans [81].
Pour les matériaux isotropes et homogènes, Λ est complètement décrit par un module
d’Young E ∗ et un coefficient de Poisson ν ∗ complexes. Leur mesure séparée pose
cependant des problèmes expérimentaux très significatifs. La pratique est donc de mesurer
le module d’Young E ∗ , ou le module de cisaillement G ∗ , et de supposer un coefficient
de Poisson ν ∗ constant. Très peu de données sont par ailleurs disponibles sur les
variations de ν ∗ avec la fréquence ; on sait principalement dire qu’il diminue lorsque la
fréquence augmente [76],[67].
Dans le domaine fréquentiel, si on considère le module d’Young dans les cas de
traction compression, l’équation précédente s’écrit
σ(ω) = E ∗ (ω)ɛ(ω) = [E ′ (ω) + iE ′′ (ω)]ɛ(ω) = E ′ (ω)[1 + iη(ω)]ɛ(ω) (1.3)
On appelle module de stockage la partie réelle E ′ (ω) = Re(E ∗ (ω)) et facteur de
perte le rapport partie imaginaire sur partie réelle η(ω) = Im(E∗ (ω))
= E′′ .
Re(E ∗ (ω)) E ′
A chaque fréquence, le module complexe décrit une relation contrainte/déformation
elliptique
σ = Re(E ∗ ɛ 0 e iωt ) = Re(E ′ (1 + iη)ɛ 0 e iωt ) = E ′ ɛ 0 (cos ωt − η sin ωt) (1.4)
montrée en figure 1.1.