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2.2 Réduction de modèles viscoélastiques 31
pas stables. La transformée inverse de Fourier fait apparaître des problèmes de noncausalité.
Pour échapper à ce biais, il est nécessaire de considérer une matrice d’amortissement
hystérétique non constante telle que B(ω) = −B(−ω). En pratique, on calcule
donc les modes à partie imaginaire positive et utilise (2.22) pour synthétiser la réponse.
Pour des cas où le comportement de la structure dépend de la fréquence, il est
possible d’utiliser (2.19) avec K(iIm(λ j )) et B(iIm(λ j )) pour calculer le mode ({ψ j },
λ j ). Si l’évolution du comportement en fonction de la fréquence n’est pas trop rapide,
i.e. un mode calculé à une fréquence diffère peu du même mode calculé aux fréquences
alentours, l’équation (2.22) permet de réaliser une synthèse modale de bonne qualité.
Un exemple est développé en fin de section 2.2.2.
2.2 Réduction de modèles viscoélastiques
Pour de nombreuses applications, il est intéressant de réduire le problème sur un
sous-espace particulier. Le comportement de chaque sous-structure est alors caractérisé
par un nombre de ddls généralisés largement inférieur au nombre de ddls physiques ce
qui permet de réduire considérablement la taille du problème.
Pour des systèmes amortis, l’utilisation de bases complexes est possible [85], mais
on propose d’étudier ici une base réelle modale augmentée par une base de correction
pour tenir compte des efforts et des effets amortissants. La section 2.2.1 donne la forme
de l’enrichissement pour un système ayant une matrice d’amortissement hystérétique.
Les deux sections suivantes analysent des exemples simples, l’un avec amortissement
localisé, l’autre avec amortissement réparti. Ces exemples permettent d’illustrer la
nature de l’enrichissement.
2.2.1 Enrichissement par des termes de correction statique
Les modes normaux qui entrent classiquement dans la composition des bases de
réduction proviennent de la résolution du problème aux valeurs propres. On imagine
aisément que, si le problème posé implique, en plus des matrices de masse et de raideur,
des matrices d’amortissement, alors, les modes propres ne pourront être suffisants pour
rendre compte du comportement du système.
Considérons un système soumis à un effort extérieur
[Z(s)] {q} = [b] {u(s)} . (2.24)
On peut ré-écrire le problème en plaçant à droite la partie de la raideur complexe
dépendant de la fréquence B V = (K(s) − K 0 ), et notamment la partie imaginaire
correspondant à l’amortissement, qui peut être perçue, selon qu’on place le terme à
gauche ou à droite de l’équation, comme un terme interne au système ou comme un
terme d’effort de perturbation du système conservatif.