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2.2 Réduction de modèles viscoélastiques 33
– Pour un amortissement réparti, la dimension de B V est trop grande pour envisager
un tel enrichissement. On ne considérera alors que la projection de B V sur
la base de modes propres, soit les termes d’enrichissement K0 −1 B V φ 1:n
˜T 2 = [ φ 1:n K −1
0 b K −1
0 B V φ 1:n
]
. (2.30)
La base ˜T 2 ainsi construite peut comporter des vecteurs très colinéaires. Il convient
donc de la ré-orthogonaliser. La ré-analyse du système réduit permet ensuite de ranger
la base par ordre de régularité et d’éventuellement tronquer en supprimant les modes
de plus hautes fréquences pour améliorer le conditionnement du problème. On obtient
ainsi la base T 2 qui représente un espace vectoriel comportant les modes de plus basse
fréquence.
2.2.2 Cas d’un amortissement localisé
Considérons le cas-test de la figure 2.1. Il s’agit de deux poutres de section circulaire
(diamètre 1cm, longueur 20cm, en acier). La liaison entre ces deux poutres est assurée
par un pivot et un ressort de torsion amortissant. L’ensemble est excité par un effort
ponctuel b montré sur la figure. Les transferts affichés sont observés au même point.
Fig. 2.1 – Schéma de cas test. Poutres liées par un ressort de torsion amortissant.
On choisit de considérer le problème en deux dimensions. On dispose d’une matrice
de masse m init et d’une matrice de raideur k init pour chacune des deux poutres.
Afin de modéliser le ressort de torsion, on impose :
– le dédoublement des ddl d’interface
– la continuité des translations sur les ddl d’interface (par élimination)
– une raideur sur le ddl de rotation relativement faible.
[ ] 1 −1
k rot = α
−1 1
α 0 vaut la moitié de K ϑzϑ z
, raideur en rotation en un autre nœud. Le cas α −n =
α 0 × 10 −n correspond à un couplage où la raideur en rotation est 10 n fois plus faible
sur le ddl d’interface que sur les autres ddl de rotation. La matrice d’amortissement
est obtenue selon le même principe avec différents facteurs de perte pour les matrices
initiale (η poutre × k init ) et de couplage (η joint × k rot ).