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2.1 Modèles de structures amorties 26 [M] {¨q(t)} + [K] {q(t)} = {F (t)} , (2.1) où M est la matrice de masse, K la matrice de raideur, q et ¨q les vecteurs de déplacement et d’accélération associés à chaque ddl du système et F le vecteur des efforts extérieurs appliqués au système. La transformée de Laplace de cette équation donne ( Ms 2 + K ) {q(s)} = {F (s)} . (2.2) Pour des conditions initiales nulles, la transformée de Laplace coïncide avec celle de Fourier en posant s = iω où ω est une pulsation en rad.s −1 . La représentation fréquentielle permet de proposer les équations de mouvement pour des systèmes amortis, quelque soit le type d’amortissement : ( [ ]) Ms 2 + Cs + ˜K(s) + iB(s) {q(s)} = {F (s)} , (2.3) où les matrices C et B représentent respectivement les matrices d’amortissement visqueux et hystérétique. La dépendance en fréquence des matrices K et B est directement liée à celle des matériaux viscoélastiques présentés au chapitre 1. À partir de l’équation (1.2), on peut écrire les matrices élémentaires de raideur K e (Λ). Dans le cas particulier d’un module d’Young dépendant de la fréquence E(s), on obtient des matrices élémentaires K e (E) dépendant linéairement de E. L’assemblage des matrices élémentaires nous donne une matrice de raideur dont on peut séparer les termes élastiques K e des termes viscoélastiques Ev(s) E 0 K v0 K(s) = ∑ e K e = K e + E v(s) E 0 K v0 . (2.4) On peut alors séparer la matrice de raideur K en deux termes, l’un, K 0 , réel, indépendant de la fréquence, l’autre, K S (s), dépendant de la fréquence K(s) = K e + Re(K v0 ) } {{ } + iIm(K v 0 ) + ( E v(s) − 1)K v0 E } {{ 0 }. = K 0 + K S (s) Pour des facilités d’écriture, on peut intégrer le terme Cs d’amortissement visqueux dans K S (s).
2.1 Modèles de structures amorties 27 La matrice de rigidité dynamique Z(s) d’un système s’écrit alors Z(s) = Ms 2 + K(s) = Ms 2 + K 0 + K S (s) (2.5) dont on peut extraire une matrice Z 0 (s) = Ms 2 + K 0 définissant le problème nominal non amorti associé, pour une fréquence donnée. On prend en général E 0 = max(Re(E(s))) pour améliorer le rayon de convergence des algorithmes itératifs. Comme pour les modèles d’états utilisés en automatique, il convient en dynamique des structures de distinguer états (appelés degrés de liberté et notés q), entrées et sorties. Cette distinction conduit à exprimer les modèles mécaniques classiques sous la forme [9] [Z(s)] N×N {q(s)} N×1 = [b] N×NA {u(s)} NA ×1 (2.6) {y(s)} NS ×1 = [c] NS ×N{q(s)} N×1 , (2.7) où u les entrées du système et y les sorties. Les matrices b et c sont respectivement les matrices de commandabilité et d’observabilité. Elles permettent de lier facilement les données expérimentales (entrées et sorties) aux ddl q du modèle éléments finis, ce qui sera utile en modification structurale (chapitre 4). Dans de nombreuses applications (structures amorties avec des matériaux viscoélastiques par exemple), il peut être intéressant de considérer également la dépendance en température ou par rapport à d’autres variables d’environnement. Pour les matériaux viscoélastiques, on a vu que la dépendance vis-à-vis de ces variables d’environnement peut être prise en compte simplement avec un décalage fréquentiel. On peut donc définir, de la même manière, une matrice K 0 , réelle, constante définie pour une fréquence et une température (ou une autre variable d’environnement) données, en considérant un scalaire E v (s, T ) dans (2.4). 2.1.2 MSE (Modal Strain Energy) L’hypothèse d’amortissement modal sur une structure élastique conduit à une décomposition spectrale [H(s)] = N∑ c {φ j } {φ j } T b (2.8) (s 2 + 2sω j ξ j + ωj 2 ). j=1 où {φ j } et ω 2 j sont les solutions (vecteurs et valeurs propres) du problème non amorti − [M] {φ j } ω 2 j + [K 0 ] {φ j } = {0} . (2.9)
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Bibliographie [1] L.R. Bagley and P
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Bibliographie 157 [23] J.M. Cros, P
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Bibliographie 159 Proceedings of th
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Bibliographie 161 [70] D. Otte, J.
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Résumé L’objectif de cette thè
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