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1.1 Modèles de matériaux dissipatifs 12
(a) (b) (c) (d) (e)
Fig. 1.5 – Modèle d’amortissement à deux ou trois paramètres : (a) Modèle de Maxwell
; (b) Modèle de Kelvin-Voigt ; (c) Amortissement hystérétique (Structural) ; (d)
Modèle de Zener ; (e) Modèle de Poynting.
La première idée consiste à utiliser des modèles rhéologiques (association de masse,
ressort et amortisseur visqueux élémentaires qui décrivent la relation entre contrainte
et déformation). Le modèle à trois paramètres exposé en figure 1.5 (Modèle de Zener,
encore appelé solide viscoélastique standard) reprend les caractéristiques principales
trouvées sur les matériaux réels : asymptotes haute et basse fréquence, maximum de
dissipation à la fréquence de plus grande pente de variation du module. Le module
complexe de ce modèle qui comprend un élément élastique de module E en parallèle
avec deux autres éléments (un élément élastique E ′ et un élément visqueux C) s’écrit
E(ŝ) = E + E − E
1 + ŝ/ω j
(1.9)
où E représente l’asymptote basse fréquence, l’asymptote haute fréquence E est égale
à E + E ′ et la fréquence où le maximum de dissipation est atteint ω j
√E/E est reliée
au temps de relaxation τ = 1/ω j = C/E ′ .
On peut améliorer la précision du modèle en utilisant des formulations plus
élaborées.
Des exemples de représentation analytique approchée sont les modèles à dérivées
fractionnaires qui proposent l’utilisation de puissances non entières de ŝ = iˆω, ce qui
permet une représentation fréquentielle dont la pente est arbitraire [1], [76], [67].
Le modèle décrit par (1.10) et (1.11)est un exemple de modèle à 4 paramètres.
E(ŝ) = E + E
η(ŝ) =
(
1 −
)
1
1 + (βŝ) n
(1.10)
nπE(βŝ) n
2E(ŝ)(1 + (βŝ) n ) 2 (1.11)
où les modules haute et basse fréquences, respectivement E et E, sont déterminés
facilement. Les coefficients β et n permettent d’ajuster la fréquence du maximum de
dissipation et les pentes du module de stockage et du facteur de perte.