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Exercices récapitulatifs> Exercices récapitulatifsbiologie chimie administration physique1. Déterminer les intervalles de croissance etde décroissance des fonctions suivantes.4b) f(x) (5 x) 3 6f) f(x) x 4 4x 3 4x 2 1c) f(x) 8x 3(2 x)d) f(x) (x 1) 2 (x 1) 2a) f(x) 12x 3 24x 2 12xe) f(x) x2 x 2b) f(x) 3 6 3 x 5 15 3 x 2 c) f(x) 80x x 5 7f) f(x) x 2 1d) f(x) (1 x)(x 5)OUTIL TECHNOLOGIQUE2. Déterminer, si possible, les points de maximumrelatif et les points de minimum relatifdes fonctions suivantes. (Préciser s’ils’agit d’un point de maximum absolu oud’un point de minimum absolu.)6. Pour les fonctions suivantes :f(x) -6x 6 15x 4 5g(x) (x 4) 3 (x 1) 2h(x) -x 3 3x 2 2a) f(x) x 6 3x 2 5b) f(x) 2x 3 6x 2 6x 3c) f(x) x 2 x 12x x 1d) f(x) 4 5 (3 x) 4e) f(x) 4 2 3 5 xf) f(x) x 3 12x 2 sur [0, 5]g) f(x) x 2 1 6 3 sur [1, 5[x 2h) f(x) 3x 2 x 23. Soit f, une fonction continue sur IR telle quef (x) x 2 (x 1) 4 (3x 2 7).Expliquer pourquoi la fonction f ne peutavoir ni maximum ni minimum.4. Déterminer, si possible, le maximum absoluet le minimum absolu des fonctions suivantes.a) f(x) 3x 3 x 2 x 4 sur ]0, 3]b) f(x) x 6 3x 4 1 sur ]-3, 2]a) f(x) x 3 3x 15. Déterminer les intervalles de concavité versle haut, les intervalles de concavité vers lebas et, si possible, les points d’inflexion dela courbe de f dans les cas suivants.a) f(x) (1 4x) 3b) f(x) 3x 4 4x 3 12x 2 10c) f(x) 1 3x 5 5x 3d) f(x) 2x(4 x) 3e) f(x) x 4 8x 3 36x 2 1a) donner une esquisse du graphique enprécisant le point d’intersection avecl’axe des y;b) déterminer, si possible, algébriquementsinon approximativement les zéros desfonctions ;c) déterminer algébriquement les pointsde maximum relatif et les points de minimumrelatif des fonctions ;d) déterminer les points d’inflexion desfonctions ;e) déterminer, si possible, les points anguleuxet les points de rebroussement desfonctions.7. Pour chacune des fonctions suivantes, construirele tableau de variation relatif à f et àf . Donner une esquisse du graphique de lafonction et déterminer, s’il y a lieu, les pointsde maximum relatif, les points de minimumrelatif, les points d’inflexion, les points derebroussement et les points anguleux.5 3ANALYSE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES237
Problèmes de synthèsea) Utiliser le calcul différentiel pour déterminerle point de la courbe C 1le plusprès du point A(10, 24) ; le plus loindu point A(10, 24).b) Déterminer, sans utiliser le calcul différentiel,le point de la courbe C 1le plusprès du point B(- 3, 1,2) ; le plus loindu point B(-3, 1,2).c) Déterminer le point de la courbe C 2leplus près du point D(2, 3) ; le plus loindu point D(2, 3).9. Déterminer les dimensions du rectangleinscrit entre les courbes de f et de g pourque la somme des aires ombrées dans lareprésentation graphique suivante soit minimale.y13. Soit f(x) (x 3) 2 , où x [0, 3].Déterminer le point P de la courbe de f telque le triangle rectangle délimité par lesaxes et la tangente à la courbe de f aupoint P soit un triangle rectangle d’airemaximale, et calculer l’aire de ce triangle.yy 1 -xyy 2 2 x 2y 3 2x xg(x) x 2Pf(x) 6 x 210. La distance initiale entre deux particules Aet B, où A est au sud de B, est de 100 m. Laparticule A se dirige vers l’est, à une vitessede 5 m/s, et la particule B se dirige vers lesud, à une vitesse de 10 m/s. Déterminer àquel temps la distance séparant A et B seraminimale, et évaluer cette distance minimale.11. On déménage une tige métallique droiteen la faisant glisser sur le plancher d’uncorridor qui tourne à angle droit et dontla largeur passe de 2 m à 3 m. Déterminerla longueur maximale de la tige que l’onpeut déménager.2 m3 m12. Déterminer l’aire maximale du trapèze suivant.xx14. Quelle doit être la longueur de la base d’untrapèze dont les trois autres côtés mesurentrespectivement a mètre(s), si l’on veut quel’aire de ce trapèze soit maximale?15. Quelles sont les dimensions du rectangled’aire maximale inscrit :a) à l’intérieur d’un cercle de rayon r ;b) à l’intérieur d’un demi-cercle derayon r ;c) à l’intérieur d’un triangle rectangle debase b et de hauteur h;d) à l’intérieur de l’ellipse définie parx 2 y 2a2 2b 1.16. a) Quelle est la relation entre la hauteuret le rayon d’un cylindre circulairedroit, fermé aux extrémités, de volumeV pour que sa fabrication nécessite lemoins de matériau possible ?b) Déterminer si les dimensions d’une cannettede boisson gazeuse de 355 ml vérifientla relation établie en a). Sinon,quelles devraient être les dimensions dela cannette?PROBLÈMES D’OPTIMISATION261
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