Pages complètes

10.1 Fonctions exponentielles et logarithmiquesc) Représentons graphiquement la courbe de P, où t [0 h, 12 h] et utilisonsle graphique pour estimer le temps nécessaire pour que la populationsoit de 60 000 bactéries.P(t)80 00060 00040 00020 00002 4 6 8 10 12tDonc, le temps nécessaire pour avoir une population de 60 000 bactéries estd’environ 10,7 heures.Nous verrons, à l’exemple 9, page 337, une méthode pour résoudre algébriquementl’équation 5000 2t 3 60 000.■ Exemple 5 Sachant que la demi-vie du radium est de 1600 ans, la demi-vieétant le temps nécessaire pour qu’une quantité (masse, concentration, etc.)donnée diminue de moitié :a) Déterminons la fonction Q qui nous permettra d’évaluer la masse duradium en fonction du temps t, exprimé en années, si la masse initialed’une quantité de radium est de R 0grammes.Si t 0, alors Q(0) R 0.Si t 1600, alors Q(1600) R 0 1 2 .Si t 3200, alors Q(3200) R 0 1 2 1 2 R 0 1 2 2 .Si t 4800, alors Q(4800) R 0 1 2 2 1 2 R 0 1 2 3 .Nous constatons que la quantité initiale R 0est toujours multipliée par 1 2 ,affecté d’un exposant égal au temps t divisé par 1600, où 1600 ans est letemps nécessaire pour que la quantité de radium diminue de moitié.Ainsi, Q(t) R 0 1 2 1 t 1600b) Déterminons, en fonction de R 0, la quantité de radium après 15 000 ans.Q(15 000) R 0 1 2 1 160015 000 0,001 5 R 0Il reste donc environ 0,15 % de la quantité initiale R 0, donc 99,85 % de laquantité initiale s’est désintégrée.En général, lorsque le facteur de croissance ou de décroissance d’une quantitédonnée est constant, nous pouvons exprimer cette quantité à l’aide d’une fonctionexponentielle de la forme donnée dans l’encadré suivant.DÉRIVÉE DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES331