Pages complètes

9.2 Dérivée des fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante 3 (sec x) 2 (sec x) 3 sec 2 x [sec x tan x] (théorème 9) 3 sec 3 x tan xDéterminons maintenant la dérivée de fonctions composées de la formeH(x) sec f(x).Théorème 10Si H(x) sec f(x), où f est une fonction dérivable,alors H(x) [sec f(x) tan f(x)] f (x).La preuve est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.■ Exemple 2 Soit f(x) sec(s in x 2 ). Calculons f (x).f (x) (sec (sin x 2 )) 1 2 1 2 (sec (sin x 2 ))-1 2(sec (sin x 2 ))1 [sec (sin x 2 ) tan (sin x 2 )] (sin x 2 ) (théorème 10)2(sec (sin x 2 )) 1 2sec (sin x2 ) tan (sin x 2 )(2x cos x 2 )2sec( si n x 2 ) x cos x 2 tan (sin x 2 ) sec( si n x 2 )Dérivée de la fonction cosécanteLa représentation graphique ci-contre est une esquisse du graphiquede f(x) csc x, oùy7dom f IR \ {k} où k IR etima f -∞, -1] [1, ∞.De plus, x k, où k z, sont des asymptotes verticales de lacourbe de f.1 2xThéorème 11 Si H(x) csc x, alors H(x) -csc x cot x.La preuve est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.■ Exemple 1 Soit f(x) 7x 3 csc x. Calculons f (x).f (x) (7x 3 ) csc x 7x 3 (csc x) 21x 2 csc x 7x 3 csc x cot x (théorème 11)Déterminons maintenant la dérivée de fonctions composées de la formeH(x) csc f(x).308 CHAPITRE 9