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Exercices récapitulatifsi) maximale ; ii) minimale.c) Compléter cette phrase : Les pointstrouvés en b) sont des pointsd) Représenter sur votre esquisse de graphiqueles tangentes trouvées en b).13. Soit f(x) e - x sur -∞, 3[.a) Donner les coordonnées du pointP(x, y) de la courbe de f tel que lapente de la droite D joignant ce pointau point A(3, 0) soit maximale.OUTIL TECHNOLOGIQUEb) Représenter la courbe de f et la droite Ddéterminée en a).c) Compléter cette phrase : La droite Dest14. Soit f(x) (x 2)e - xet g(x) - 3x 4 6x 2 3.OUTIL TECHNOLOGIQUEDéterminer l’abscisse des points d’intersectiondes courbes de f et de g, en donnantvotre réponse avec cinq chiffres significatifs.15. Déterminer lesdimensions durectangle d’airemaximale situé sousl’axe des x, entre l’axedes y et la courbed’équation y ln x.yy ln x16. a) Déterminer l’aire du rectangle d’airemaximale que l’on peut inscrire entrela courbe définie par y edes x.OUTIL TECHNOLOGIQUE- x 22xet l’axeb) Représenter la courbe de y et le rectangletrouvé en a).17. Certains psychologues estiment que, engénéral, la fonction définie par5C(x) donne approximativementune mesure numérique de3x ln x 5x 10lacapacité d’apprendre d’un enfant âgé de6 mois à 5 ans, en fonction de son âge x,où x est en années. Déterminer l’âge auquella capacité d’apprendre d’un enfant estmaximale.18. Le physicien anglais William Thomson(1824-1907), mieux connu sous le nom delord Kelvin, a démontré que la vitesse v detransmission d’un signal à l’intérieur d’uncâble conducteur sous-marin dépend d’unecertaine variable x qui peut être déterminéeà partir du diamètre extérieur du câbleet du diamètre du fil intérieur.Sachant que v(x) kx 2 ln 1 x , où k est uneconstante dépendant de la longueur ducâble et de sa qualité, déterminer la valeurde x à laquelle v est maximale.19. Dans certaines conditions, l’acide oxaliquepeut se décomposer en acide formique eten dioxyde de carbone.HOOCCOOH → HCOOH CO 2, où lesquantités sont exprimées en grammes.Consulter le graphique ci-dessous qui représentela concentration de l’acide oxaliqueen fonction du temps.Q(mol/L)0,050,0240,0120 40 60 80t(s)a) Sachant que la quantité Q est donnéepar Q(t) Q 0e kt , déterminer l’équationQ(t).b) Calculer la vitesse moyenne de réactionentre 10 s et 30 s.c) Déterminer la vitesse initiale de laréaction.d) Déterminer la vitesse instantanée de laréaction à 40 s.e) Déterminer la vitesse instantanée dela réaction lorsque Q est égale à0,04 (mol/L).DÉRIVÉE DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES359