10 Séance du 22/02/10 - Peysseri

COMPTE-RENDU de la séance de mathématiques du lundi 22 février 2010Jeu de rôleDans le cadre de son travail de recherche en sciences de l’éducation, Jean-Jacques, un denos IMF, nous propose un jeu de rôle. Nous avions à lire différents documents avant de veniren cours ce jour-là.Voici donc les documents qui nous étaient proposés :Consigne pour préparer un petit jeu de rôle :Madame ARYNACH enseigne dans une classe de CM1-CM2 et elle intègre l’utilisation de lacalculatrice dans les apprentissages mathématiques qu’elle conduit,Lors d’une liaison école-collège, Monsieur LAGOUFFRE. Professeur de mathématiques aucollège a eu un échange un peu vif avec elle : « C’est avec de telles pratiques que les élèves ensixième ne savent plus calculer ! ».Les parents d’élèves, ayant eu vent de l’incident, se sont adressés à Madame EDUCNAT,Inspectrice de la circonscription ; certains pour apporter leur soutien à l’enseignante, d’autres plusnombreux s’inquiétant pour les résultats en mathématiques de leurs enfants.L’IEN décide alors d’organiser un débat sous la forme d’une table ronde réunissant MmeARYNACH, M. LAGOUFFRE, M. DUCLOU (représentant des parents d’élèves) et elle-mêmecomme représentante de l’institution.En vous aidant des documents du dossier qui suit, vous allez préparer cet entretien.Le 6 février, on se séparera en quatre groupes et chacun préparera le rôle d’un des protagonistes ;puis on jouera (et on filmera) la scène : pour cela, un volontaire par groupe sera sollicité.Vous essaierez de dépasser votre point de vue personnel pour essayer d’adopter celui de votrepersonnage :Mme ARYNACH défendant sa pratique professionnelle intégrant la calculatrice dans lesapprentissages mathématiquesM. LAGOUFFRE exprimant ses craintes pour les compétences en calcul des élèves qu’ilreçoit en classe de sixième et rejetant toute utilisation de la calculatrice dans le cadre scolaireM. DUCLOU porte-parole des parents partagés entre inquiétude et soutien à l’enseignanteMme EDUCNAT voix de l’institution et chargée de veiller au respect des textes officielsdans les écoles de sa circonscription.Pour un bon usage des calculatrices à l’école primaire(revue MathemaTICE n°10. mai 2008)Dans le rapport remis par l’Inspection Générale en juin 2006 sur l’enseignement desmathématiques au cycle 3 de l’école primaire, on peut lire que « Le calcul instrumenté n’estl’objet d’un apprentissage organisé que pour une très faible minorité de maîtres. Dans certains cas,il est totalement inexistant. Quelques maîtres considèrent même que la calculette est un handicapau savoir calculer ». Ce constat relativise des propos souvent entendus selon lesquels la baisse duniveau en calcul (qui reste d’ailleurs à analyser) serait imputable à un usage massif descalculatrices à l’école !Alors que depuis une vingtaine d’année, l’usage social de nouveaux instruments de calculs(calculatrices, ordinateurs…) s’est imposé aussi bien pour des besoins personnels queprofessionnels, leur introduction dans le monde scolaire est toujours en question à l’école primaireet peine à se généraliser au collège.Concernant les calculatrices à l’école primaire, le coût des équipements ne peut pas être unobstacle. Les classes se dotent de nombre de fournitures plus onéreuses que des calculatricesordinaires. Il faut donc chercher d’autres raisons à une utilisation faible ou inexistante. Lapremière raison tient sans doute aux représentations des enseignants sur ce que doit être

l’apprentissage du calcul. En 2002, la consultation des enseignants qui a accompagné la mise aupoint des programmes a révélé un très large accord avec la presque totalité des orientationsretenues, en particulier avec la priorité accordée à la résolution de problèmes et au calcul mental.Un seul point a réellement fait discussion. Les enseignants de cycle 2 ont désapprouvé, à uneimportante majorité, l’introduction, nouvelle, des calculatrices dans le programme. Et l’opiniondes enseignants de cycle 3 était partagée : la moitié d’entre eux approuvait la place donnée auxdivers moyens de calcul alors que l’autre moitié émettait des réserves quant aux conséquences del’utilisation des calculatrices sur l’apprentissage du calcul par les élèves. La deuxième raison tientsans doute au fait que les ouvrages scolaires proposent peu d’activités incluant l’usage descalculatrices. Le document d’accompagnement des programmes 2002, intitulé « Utiliser lescalculatrices en classe », pourtant riche en exemples utilisables en classe, n’a trouvé que peud’écho dans les manuels. Et les recherches sur Internet pour y trouver des activités intéressantespour l’école primaire s’avèrent rapidement stériles…L’apprentissage du calcul assisté par une calculatrice (puis par un ordinateur) doit évidemmentêtre pensé dans sa complémentarité avec celui des autres moyens de calcul. Il serait absurde quel’école n’apprenne pas aux élèves à se servir d’outils qui sont à leur disposition dès qu’ils ontfranchi le seuil de la classe et qui sont largement utilisés dans la société dans laquelle ils vivent. Ilserait tout aussi aberrant de se priver des possibilités qu’offre ces outils pour enrichir le travailmathématique des élèves. Mais, il serait aussi irresponsable de ne pas s’interroger sur les dangersque peut comporter une utilisation aveugle de ces machines.En tant que responsable d’ouvrages pour les maîtres et les élèves de l’école élémentaire, j’ai eu,avec mon équipe, à envisager quel « bon usage » des calculatrices pouvait être fait à ce niveau dela scolarité. Cet article se propose donc d’envisager, à partir d’exemples, ce que peut être cetteutilisation « intelligente » des calculatrices aux différents niveaux de la scolarité élémentaire.Calculatrices et résolution de problèmesUne calculatrice est d’abord un outil de calcul. Un élève doit être capable de déterminer s’il estpertinent de l’utiliser ou non pour une tâche donnée (par exemple, la résolution d’un problème) et,si c’est le cas, il doit savoir comment bien s’en servir. Deux exemples permettent d’affiner cetteréflexion.Exemple 1 : problème « de recherche » (CM2)Dans un premier temps, les élèves ont eu à chercher, parmi les quantités de choux inférieures à 25,lesquelles correspondaient à des possibilités de réaliser une plantation « en carré ». Par exemple,avec 9 choux, il est possible d’obtenir la disposition suivante :

La compréhension du fait qu’une soustraction permet d’obtenir la valeur d’un complément (lecardinal d’une sous-partie connaissant celui du tout et celui de l’autre sous-partie) ne va pas de soipour beaucoup d’élèves. Ils préfèrent chercher la valeur du complément par des additionssuccessives ou en posant une addition lacunaire. Une organisation didactique est donc nécessairepour aider ces élèves à enrichir le concept de soustraction de ce « nouveau sens ». Cetteorganisation, située ici au CE2 [6], est nécessairement complexe et prend appui sur plusieurssituations. Celle présentée ici se propose de montrer comment l’utilisation, à un certain moment,de la calculatrice peut aider les élèves à franchir ce pas important dans l’apprentissage de lasoustraction.Au départ, l’enseignant dispose d’une feuille portant 20 points et d’une feuille-cache qu’il peutposer sur la première. Des points sont alors visibles, d’autres sont cachés. Les élèves doiventtrouver le nombre de points cachés.Les procédures des élèves pour trouver le nombre de points cachés varient selon le nombre depoints qui sont visibles. Si 17 points sont visibles, de nombreux élèves complètent 17 pour obtenir20. Si seulement 4 points sont visibles, ils sont plus nombreux à soustraire 4 de 20 pour obtenir laréponse, mais certains persistent à vouloir compléter 4 pour obtenir 20, bien que ce soit plusdifficile à réaliser. La mise en commun et l’explicitation des procédures utilisées fait apparaîtreces deux possibilités de résoudre le problème : compléter ou soustraire. La méthode de validationexpérimentale des réponses qui consiste à basculer le cache pour rendre visibles les points quiétaient cachés revient à cacher ceux qui étaient visibles, ce qui rapproche du sens que les élèvesont donné à la soustraction auparavant (ici à « enlever 4 de 20 », comme disent souvent lesélèves).Dans la première phase du travail au cours de laquelle le nombre de points de la carte initiale restepetit (20, 34, 85…), l’usage de la calculatrice est interdit : il s’agit de favoriser les procéduresmentales et de mettre en évidence, sur des calculs que les élèves maîtrisent bien, que les deuxprocédures (compléter, soustraire) sont possibles et plus ou moins adaptées selon les nombres enprésence.Les calculatrices sont autorisées dans une deuxième phase, avec des nombres beaucoup plusgrands et à un moment où les élèves ne maîtrisent pas encore le calcul de la soustraction posée.Voici un exemple de question posée aux élèves :Les élèves sont tentés d’utiliser la calculatrice, car les calculs sont plus difficiles. Le travail qu’ilsont effectué dans la première phase leur permet de choisir entre compléter 258 pour obtenir 634

ou soustraire 258 de 634. Le second calcul est beaucoup plus simple à réaliser que le premier si onutilise la calculatrice…Dans cet exemple, la calculatrice n’a pas été utilisée pour mettre en place un apprentissagenouveau (la soustraction permet de calculer un complément), mais plutôt pour le renforcer dansune circonstance (nombres moins « agréables ») où, avec une calculatrice, le calcul d’unesoustraction est plus économique que celui du complément pas addition(s).

Exemple 4 : position et valeur des chiffres dans l’écriture d’un nombreLa connaissance de l’équivalence entre 1 dizaine et 10 unités, entre 1 centaine et 10 dizaines ou100 unités… et celle relative au fait que la valeur d’un chiffre dans l’écriture d’un nombre dépendde sa position sont difficiles à mettre en place pour de nombreux élèves. Les activités impliquantdes groupements et des échanges jouent, pour cela, un rôle essentiel. L’activité présentée ici [7]fournit un exemple d’une utilisation qui peut être faite des calculatrices pour aider à cesapprentissages avec des élèves de CP ou de CE1.Les élèves travaillent individuellement ou par équipes de deux. Chaque élève (ou équipe) disposesoit d’un compteur à roue en carton, soit d’une calculatrice, deux élèves voisins ne disposant pasdu même outil. L’enseignant dispose d’objets qui peuvent être facilement regroupés (cubesemboîtables, trombones, bûchettes et élastiques…) et d’une boîte. Des objets vont être mis dans laboîte par l’enseignant, d’abord un par un, puis également par groupement de dix. La tâche, pourles élèves, est de trouver un moyen de faire afficher rapidement par leur outil (compteur oucalculette) le nombre d’objets contenus dans la boîte (sans remise à zéro). A certains moments del’activité, ils sont interrogés sur la correspondance entre le contenu de la boîte et ce qu’affichechaque outil.Dans une première étape, il s’agit de mettre en évidence la relation qui existe entre « passer aunombre suivant » (sur le compteur) et « ajouter 1 » (sur la calculatrice). Au début, la boîte estvide, les compteurs et les calculatrices affichent « 0 ». L’enseignant fait tomber des objets dans laboîte, un par un (par exemple jusqu’à 8 objets). Pour chaque objet ajouté, il demande aux élèvesde formuler ce qu’ils font sur leur outil pour afficher le nombre d’objets que contient la boîte : -avec le compteur, il faut « avancer d’un chiffre » la roue des unités ; - avec la calculatrice, il fauttaper [+] [1] [=]Dans la deuxième étape, il s’agit d’insister sur ce qui se passe lors du passage de la dizaine (quicorrespond à un groupement de dix unités). On continue à ajouter des objets un par un, ens’arrêtant après avoir fait tomber le dixième objet dans la boîte et en posant quelques questions : -qu’affichent les compteurs ? Certains affichent « 0 » et d’autres affichent « 10 », (selon que lesélèves ont accompagné ou non l’avancée de la roue des unités de celle des dizaines). -qu’affichent les calculatrices ? Elles sont passées automatiquement de 9 à 10. - le contenu de laboîte est-il conforme avec ces affichages ? Oui, si on compte les objets (il y en a bien dix). Non, sion analyse les écritures : dans la boîte, on ne visualise pas le « 1 » et le « 0 », d’où une nouvellequestion… - comment voir le « 1 » et le « 0 » dans la boîte ? Cette question conduit à s’interrogerà nouveau sur leur signification… et, donc, à organiser le contenu de la boîte pour y faireapparaître un groupement de dix objets et aucun objet isolé.On continue de la même manière, en ajoutant toujours des objets un par un jusqu’à plus de 30objets. Les passages de 19 à 20, puis de 29 à 30 sont l’occasion de reproduire les questionsprécédentes et de mettre en évidence à nouveau la nécessité de grouper par dix les objets de laboîte pour que leur organisation soit conforme à l’affichage de la calculatrice et du compteur.Dans une troisième étape, il s’agit de mettre en évidence le fait que ajouter 10 revient à ajouterune dizaine… ce qui pourra être utile en calcul mental. L’activité est reprise, mais en ajoutant àchaque fois soit un objet, soit un groupement de dix objets. L’intérêt réside ici dans lesinterrogations sur les actions à réaliser avec chaque outil pour accompagner l’ajout d’ungroupement de dix objets. - avec la calculette, on peut soit reproduire dix fois la séquence [+] [1][=], soit utiliser une fois la séquence [+] [10] [=] - avec le compteur, on peut soit avancer dix foisde suite la roue des unités (en n’oubliant pas que les passages à 0 de cette roue entraîne uneavancée de la roue des dizaines), soit avancer une fois la roue des dizaines (son passage à 0 seraexaminé dans l’étape suivante).Dans une quatrième étape, il s’agit de généraliser cet apprentissage au cas des centaines. Lesmêmes activités sont reprises, au delà de 100, avec la possibilité d’ajouter des objets un par un,par groupements de dix objets ou par groupements de cent objets.Dans cet exemple, on peut faire l’hypothèse que l’utilisation des calculatrices a pu aider certainsélèves dans la conceptualisation de la dizaine et de la centaine et dans la compréhension de notresystème d’écriture des nombres.

La calculatrice, pour s’entraîner au calcul mentalFaire du calcul mental, avec l’aide de la calculatrice… Quel paradoxe ! De quoi décourager ceuxqui clament que leur utilisation empêche cet apprentissage nécessaire. Et pourtant…Exemple 5 : S’entraîner, en autonomie, à la mémorisation des tablesPrenez deux élèves de CE1. Confiez leur une calculatrice (et éventuellement un chronomètre). Etdemandez leur de jouer à l’un des jeux suivants. Jeu 1 : Le premier joueur (A) tape une somme dedeux nombres inférieurs à 10 (il tape par exemple 7 [+] 6, sans appuyer sur [=]). Il passe lacalculatrice à l’autre joueur (B) qui, avant d’appuyer sur [=] et rapidement, doit annoncer lerésultat. L’appui sur [=] permet de contrôler la réponse donnée. Si elle est correcte, le joueur Bmarque 1 point, sinon c’est le joueur A qui marque 1 point. Les rôles sont ensuite inversés. Lepremier joueur qui atteint 10 points gagne la partie. Jeu 2 : Le premier joueur (A) tape un nombreinférieur à 10 (il tape par exemple 8) et annonce oralement un 2e nombre, compris entre celui quia été tapé et 20 (par exemple 14). Il passe la calculatrice à l’autre joueur (B) qui, en une seule fois,doit taper une séquence [+] n [=] pour atteindre le 2e nombre (ici [+] 6 [=]). Si le nombre attendus’affiche, le joueur B marque 1 point, sinon c’est le joueur A qui marque 1 point. Les rôles sontensuite inversés. Le premier joueur qui atteint 10 points gagne la partie.En dehors de l’aspect ludique, le principal intérêt de tels jeux est qu’ils peuvent être pratiqués sansla présence de l’enseignant. La calculatrice n’est pas utilisée, ici, pour fournir une réponse, maispour valider une réponse élaborée par l’élève. Sur cette trame, de nombreux autres jeux peuventêtre imaginés, en fonction des objectifs visés.ConclusionLa calculatrice est d’abord un auxiliaire de calcul, rapide et fiable (pour autant qu’on ne se trompepas dans le choix des touches). L’école doit enseigner aux élèves son « bon usage », c’est-à-direles amener à savoir quand et comment s’en servir… et dans quelles circonstances il est pluspertinent de recourir à d’autres moyens, notamment le calcul mental (exact ou approché).L’enseignant doit rester maître du choix de son utilisation, notamment des moments où elle estbénéfique et de ceux où, au contraire, les apprentissages visés seront mieux assurés si l’outil n’estpas disponible. C’est ce que nous avons tenté de montrer dans le paragraphe consacré à larésolution de problèmes. La calculatrice peut aussi être source et support de questions fécondespour les apprentissages mathématiques, dans la mesure où son usage s’accompagne de questionsqui poussent à la réflexion des élèves. Enfin, la maîtrise d’un outil n’est pas complète si ne sontpas perçues ses limites et ses possibilités. Cet aspect, celui notamment de l’apprentissage decertaines fonctionnalités (facteurs constants, mémoires…) des calculatrices ordinaires, n’a pas étéenvisagé ici. Ajoutons que la lecture de cet article peut très utilement être complétée par celle dudocument d’accompagnement des programmes 2002 pour l’école primaire déjà évoqué dansl’introduction et qui fournit des réflexions et de nombreux exemples de travaux sur l’utilisationpossible des calculatrices à ce niveau de la scolarité.Roland CharnayExtrait de « Le calcul à l’école primaire »par Laurent LAFFORGUE, Professeur permanent à l'Institut des Hautes ÉtudesScientifiques. membre de l'Académie des Sciences. Médaille Fields 2002.4) Calcul mental et calcul poséLe calcul mental et le calcul posé doivent être introduits et pratiqués très tôt, en commençantsur des petits nombres. Dans la mesure où cela ne nuit pas à la bonne habitude de préférer lecalcul mental au calcul écrit chaque fois que cela est possible, il paraît bon d'accoutumer lesélèves à poser les quatre opérations même lorsqu'ils ne connaissent encore que des nombres à unseul chiffre.Dès le cours élémentaire, le développement du calcul mental et du calcul posé exige deconnaître par coeur les tables d'addition et de multiplication complètes, jusqu'au point oùelles fonctionnent aussi bien comme des tables de soustraction et de division, y comprisquand la division ne tombe pas juste. Il exige aussi des exercices nombreux et réguliers quiconsolident et entretiennent les automatismes. S'agissant d'opérations faisant intervenir aumoins un nombre à deux chiffres, il est bon de vérifier un certain nombre de fois que le calculmental et le calcul posé (qui ne procèdent pas de la même façon) aboutissent aux mêmes résultats.La maîtrise des algorithmes des quatre opérations posées est un objectif essentiel.

Le plus riche est celui de la division. (Lequel ? demandera-t-on, car il y en a plusieurs. Il estraisonnable de conserver celui qui a été enseigné si longtemps et si utilement dans les écolesprimaires.) Le mettre en oeuvre avec succès suppose la connaissance parfaite des tables et lamaîtrise des autres opérations, du calcul mental et d'une forme de calcul approché (pour devinerchaque nouveau chiffre du quotient). Quand une classe a assimilé l'algorithme général de ladivision, il suffit de donner plusieurs fois par semaine en exercice une ou deux divisions poséespour maintenir la pratique des quatre opérations à un bon niveau.Il faut connaître les divisions avec reste et celles avec développement décimal après la virgule.On demande souvent de « faire la preuve d'une division » en multipliant le diviseur par le quotientpuis en ajoutant le reste. C'est une vérification pratique du sens de la division comme del'exactitude de l'algorithme : il est bon que les élèves vérifient autant que possible la cohérencedes résultats qu'ils obtiennent et des méthodes qu'ils emploient.On habitue les élèves à vérifier que l'ordre de grandeur du résultat d'une multiplication ou d'unedivision est correct (par calcul mental sur des nombres ronds – c'est-à-dire à un seul chiffre suivide zéros – qui approchent ceux donnés au départ).On enseigne aussi la « preuve par 9 » comme autre moyen de vérification partielle du résultatd'une opération.(…)7) Quels objets et instruments dans la classe ?Dans la société actuelle, la plupart des élèves passent chaque jour des heures devant divers écransqui sollicitent violemment et exclusivement la vue et l'ouïe ; les mains restent inactives oun'agissent que par l'intermédiaire d'une console ou d'un clavier. Cela rend difficile pour les enfantsd'acquérir le sens du réel et tend à les enfermer dans un monde virtuel et simpliste.L'école doit corriger ces influences. C'est pourquoi ni l'ordinateur – dont les écoliers nepeuvent à leur âge apprendre la programmation –, ni les autres écrans n'ont leur place àl'école primaire.Les calculatrices sont à exclure comme instruments d'apprentissage du calcul. L'expériencemontre que, lorsque les élèves sont autorisés à en apporter en classe, la plupart d'entre eux abusentde leur usage trop facile et presque magique, ce qui hypothèque gravement leur apprentissage ducalcul, voire celui des tables d'addition et de multiplication. Il vaut donc mieux proscrire lacalculatrice avant l'âge où les élèves apprenaient auparavant à se servir d'une règle à calcul.Au contraire, on doit saisir toutes les occasions pour que les enfants manipulent des objetsconcrets et familiers en liaison étroite avec l'apprentissage des nombres et de leursopérations.Pour l'apprentissage de la numération et des opérations sur les petits nombres, il faut que lesenfants comptent et regroupent ou séparent en petits paquets des objets qu'ils manipulent avec lesmains. Le boulier est un outil pédagogique très efficace et il s'utilise même avec des grandsnombres ; il est souhaitable que les enfants apprennent à s’en servir.Extraits du programme 2008 pour le cycle 3 :Le calcul :- mental : tables d’addition et de multiplication. L’entraînement quotidien au calcul mental portantsur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés.- posé : la maîtrise d’une technique opératoire pour chacune des quatre opérations estindispensable.- à la calculatrice : la calculatrice fait l’objet d’une utilisation raisonnée en fonction de lacomplexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves.Deuxième palier pour la maîtrise du socle commun : compétences attendues à la fin du CM2Compétence 3 :Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologiqueA) Les principaux éléments de mathématiquesL’élève est capable de :

- écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux(jusqu’au centième) et quelques fractions simples ;- restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 ;- utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux(pour la division, le diviseur est un nombreentier) ;- calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ;- estimer l’ordre de grandeur d’un résultat ;- utiliser une calculatrice ; (…)Extrait des repères pour l’organisation de la CM1CM2progressivité des apprentissages par les équipespédagogiques.CE2alcul sur des nombres entiersalculer mentalementMémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition ete multiplication.Calculer mentalement des sommes, des différences, desroduits.ffectuer un calcul poséAddition, soustraction et multiplication.Connaître une technique opératoire de la division et laettre en oeuvre avec un diviseur à un chiffre.Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calculental, posé, où à l’aide de la calculatrice.Utiliser les touches des opérations de la calculatrice.CalculCalculer mentalement- Consolider les connaissances et capacités encalcul mental sur les nombres entiers.- Multiplier mentalement un nombre entier oudécimal par 10, 100, 1 000.- Estimer mentalement un ordre de grandeur durésultat.Effectuer un calcul posé- Addition et soustraction de deux nombresdécimaux.- Multiplication d’un nombre décimal par unnombre entier.- Division euclidienne de deux entiers.- Division décimale de deux entiers.- Connaître quelques fonctionnalités de lacalculatrice utiles pour effectuer une suite decalculs.CalculCalculer mentalement- Consolider les connaissances et capacités encalcul mental sur les nombres entiers etdécimaux.- Diviser un nombre entier ou décimal par 10,100, 1 000.Effectuer un calcul posé- Addition, soustraction, multiplication de deuxnombres entiers ou décimaux.- Division d’un nombre décimal par un nombreentier.- Utiliser sa calculatrice à bon escient.Extraits du nouveau programme pour le collège (BO 28/08/2008)(…)• nombres et calcul (…)- poursuivre l’apprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté ; (…)Sixième :En continuité avec l'école élémentaire les problèmes doivent permettre aux élèves d'associer à unesituation concrète un travail numérique, de mieux saisir le sens des opérations figurant auprogramme. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou desmathématiques.Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approché sous sesdifférentes formes, souvent utilisées en interaction : calcul mental, calcul à la main ouinstrumenté. À la suite de l’école primaire, le collège doit, en particulier, permettre aux élèvesd'entretenir et de développer leurs compétences en calcul mental notamment pour la perceptiondes ordres de grandeur.(…)- Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ouinstrumenté :La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières.La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à larésolution de problèmes.Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuositétechnique n’est recherchée.Extrait du BO n°10 du 8 mars 2007MISE EN OEUVRE DU SOCLE COMMUN DE CONNAISSANCES ET DECOMPÉTENCES : L’ENSEIGNEMENT DU CALCULLa place du calcul instrumenté : la calculatrice doit faire l’objet d’une utilisation raisonnéeLe calcul instrumenté est largement répandu dans la vie courante. Chacun, quelle que soit sonactivité sociale ou professionnelle, peut avoir recours à l’usage d’une calculatrice. Il est doncessentiel que l’école soit en prise avec cette réalité de notre temps. L’enseignement du calcul doitdonc faire une place à l’usage des calculatrices. Chaque élève doit disposer d’un tel outil et c’est àl’enseignant de choisir, en fonction de la progression adoptée et de la complexité des calculs, lessituations pour lesquelles l’élève peut y avoir recours. La calculatrice sera notamment utiliséepour des grands nombres, pour des séries de cal cul, pour des vérifications. Il est néanmoins très

important de montrer aux élèves que si le recours à la calculatrice peut se révéler nécessaire pourcertains calculs complexes, il est d’autres situations dans lesquelles le calcul mental s’avère plusrapide et plus efficace. On veillera à la vérification des résultats obtenus et on montrera à l’élèvequ’il doit toujours y être attentif, par exemple en calculant mentalement un ordre de grandeurExtraits de deux rapportsExtraits du rapport de l’Inspection générale de mathématiques « L’enseignementdes mathématiques au cycle 3 de l’école primaire » (juin 2006) :Pages 44-45 :Le calcul instrumenté n’est l’objet d’un apprentissage organisé que pour une très faible minoritéde maîtres. Dans certains cas, il est totalement inexistant. Quelques maîtres considèrent même quela calculette est un handicap au savoir calculer. Cet avis rejoint celui du mathématicien RenéThom : « En autorisant l’usage de la calculette dès l’âge de six ou sept ans on aboutit à uneconnaissance moins intime du nombre que celle à laquelle nous accédions grâce à la pratique ducalcul mental », citation rapportée par Stanislas Dehaene qui ne partage pas ce point de vue. Pource dernier, « L’usage raisonné de la calculatrice en libérant l’enfant des aspects fastidieux etmécaniques du calcul peut lui permettre de se concentrer sur le sens ».Le calcul posé apparaît le plus pratiqué, le nombre et la fréquence des suites d’opérationseffectuées étant très variables d’une classe à l’autre. La perception par le maître du caractèred’utilité ou des aspects rébarbatifs de ces exercices d’entraînement décide de l’ampleur de ce typed’activité. Globalement, un temps plus important semble consacré à la compréhension du sens desopérations qu’à l’entraînement aux techniques opératoires. Lors de nos visites, il n’a pas étéconstaté de présentation de techniques diversifiées pour la multiplication ou pour la division.Pourtant, depuis une trentaine d’années, de nombreux documents pédagogiques ont mis àl’honneur diverses techniques qui peuvent donner une dimension ludique à cet apprentissage etqui n’empêchent pas de « stabiliser » l’apprentissage de la technique usuelle.Page 56 :Les calculettes sont peu utiliséesSeul, un élève sur deux a une calculette à disposition dans la classe. Lorsque la classe est équipée,le plus souvent (65 %), l’usage n’est possible que sur distribution du maître. La partie duprogramme relative au calcul instrumenté est certainement la moins bien traitée. Les maîtresdisposent pourtant d’indications de travail dans le document d’accompagnement. En outre,l’usage de la calculatrice était déjà demandé dans le programme de 1995 : ce n’est donc pas unenouveauté ! Peut-être faut-il considérer l’impact des évaluations nationales à l’entrée en sixièmequi n’ont pas encore proposé d’items de vérification des compétences énoncées :« – utiliser à bon escient sa calculatrice pour obtenir un résultat numérique issu d’un problème etinterpréter le résultat obtenu,– utiliser une calculatrice pour déterminer la somme, la différence de deux nombres entiers oudécimaux, le produit de deux nombres entiers ou celui d’un nombre décimal par un entier, lequotient entier ou décimal (exact ou approché) de deux entiers ou d’un décimal par un entier,– connaître et utiliser certaines fonctionnalités de sa calculatrice pour gérer une suite de calculs :touches ″ opérations ″, touches ″ mémoires ″, touches ″ parenthèses ″, facteur constant. »

Extraits du rapport d’étape sur le calcul de la Commission de réflexion sur l'enseignementdes mathématiques présidée par Jean Pierre KAHANE, de l’Académie des Sciences (mars2001, février 2002 pour l’annexe) :Pages 19-20 :III.3 LA VISION DES RAPPORTS ENTRE CALCUL ET INSTRUMENTS DU CALCULLa vision des rapports entre calcul et instruments du calcul portée par la culture est, elle aussi,souvent peu conforme à la réalité. Certes, nul ne songerait à nier la dépendance du calcul desinstruments du calcul mais cette dépendance est vue un peu à sens unique, comme si le calcul luimêmen’était pas partie prenante dans l’évolution des instruments, et les implications qui en sonttirées, au niveau de l’enseignement, sont souvent caricaturales : les machines prenant en charge lecalcul, plus n’est besoin d’apprendre des mathématiques, ou, en sens inverse, si l’on veutapprendre des mathématiques, il faut mettre à l’écart ces dangereux objets qui empêchentd’apprendre, en prenant le travail habituel de l’élève.Il est clair que l’évolution technologique perturbe les équilibres traditionnels du calcul dansl’enseignement et nous l’avons souligné à diverses reprises dans le début de ce rapport mais cesvisions caricaturales, les prises de position péremptoires qui souvent les accompagnent, n’aidentpas l’enseignement à faire face aux problèmes délicats que ces ruptures d’équilibres engendrent,tant pour l’enseignement que pour la formation des enseignants.En ce qui concerne spécifiquement le calcul, nous voudrions, en complément à ce que nous avonsécrit jusqu’ici et au contenu du rapport « Informatique et enseignement des mathématiques »,insister sur deux points : d’une part, sur les besoins mathématiques du calcul instrumenté et lanécessité de penser des stratégies d’intégration d’instruments de calcul dans la durée qui enrésulte, d’autre part, sur la nécessité de diversifier dans les situations d’enseignement, les modesd’intervention des instruments, l’interaction entre calcul assisté et calcul papier / crayon, enfonction des objectifs spécifiques que l’on se fixe, à tel ou tel moment. Nous nous appuyons plusspécifiquement sur ce point sur différents travaux de recherche concernant l’intégration decalculatrices et logiciels à l’enseignement (…).Un objet technologique : calculatrice ou logiciel, est d’abord un objet. Ce n’est que via unprocessus de genèse instrumentale relativement complexe qu’il peut devenir un réel instrumentmathématique pour l’élève, l’étudiant ou l’enseignant. Par exemple, dans les conditions quiprévalent aujourd’hui dans l’enseignement pour les calculatrices, où l’utilisation est acceptée maisoù il n’y a pas réellement d’intégration, on s’aperçoit que les élèves maîtrisent très peu lesinstruments sophistiqués dont ils disposent. Ils savent les utiliser quand d’emblée ils fournissent laréponse demandée, ils sont peu capables de s’adapter si ce n’est pas le cas, encore moins decontrôler les résultats obtenus, que ce soit au niveau numérique ou graphique. Dans cesconditions, l’usage de ces objets ne sert ni le développement du calcul, ni l’articulation entrecalcul et raisonnement.L’instrumentation mathématique des objets technologiques ne va pas de soi. Elle nécessite descompétences mathématiques, certaines déjà visées par l’enseignement, d’autres plus spécifiquesde la technologie considérée. L’enseignement tend à sous-estimer ces besoins et n’est pasforcément prêt à y consacrer le temps nécessaire, lorsque les apprentissages requis s’écartent untant soit peu de ses objectifs déclarés, pour des raisons aisément compréhensibles. D’oùl’importance, déjà soulignée dans le rapport « Informatique et enseignement des mathématiques »,d’une part de bien identifier ces besoins, d’autre part de les prendre en compte sérieusement dansla définition des objectifs de l’enseignement, en allant au-delà des encouragements voireinjonctions à utiliser telle ou telle technologie.Dans la situation actuelle, l’enseignement cherche avant tout ce qui, dans l’utilisation descalculatrices et logiciels, peut servir la réalisation d’objectifs, essentiellement pensés en dehorsdes instruments de calcul. Cette situation n’est pas tenable à terme. (…) Quel que soitl’instrument, l’implantation informatique de savoirs mathématiques qui y est opérée introduitnécessairement des différences avec le fonctionnement usuel du calcul. Une instrumentationefficace ne peut négliger ces différences, elle se doit donc de prendre en charge des dimensions dela connaissance hors du champ usuel du calcul. (…)Nous avons insisté, dans ce qui précède, sur les questions d’instrumentation car nous y voyonsune source de difficultés réelles pour l’enseignement, sous-estimée par les décideurs, sous-estiméeaussi dans la formation des enseignants. Ceci ne doit pas laisser penser que le seul objectif del’enseignement du calcul soit de rendre les élèves capables de calculer, sans assistance quand lecalcul, quelle que soit sa nature, reste techniquement simple, de façon assistée par descalculatrices et logiciels, lorsque sa complexité

augmente. Comme nous l’avons souligné dans la première partie de ce rapport, calcul etdéveloppement des concepts sont en mathématiques intrinsèquement liés. Et c’est en fonction decette interaction que doit être aussi pensée l’utilisation des instruments de calcul. Ceci nécessitede décider, en fonction des objectifs précis de telle ou telle séance, si le calcul sera instrumenté ounon par des machines et dans quelles conditions. Il n’y a pas là de règle générale, et le rôle que lesmachines vont jouer dans le calcul va nécessairement varier suivant les moments del’apprentissage, suivant aussi les stratégies d’enseignement choisies par tel ou tel professeur.Certains accepteront ainsi de faire fonctionner la machine, à certains moments, comme une boîtenoire, productrice de données, d’une certaine réalité expérimentale, à laquelle il faudra donnersens, en l’organisant et en introduisant les concepts nécessaires. D’autres y seront plus réticents,préférant réserver l’usage des machines à un moment de l’apprentissage où un certain niveau deconceptualisation, qui permette un contrôle minimal des productions de la machine, sembleatteint. Mais, quels que soient les choix effectués, ceci nécessite la construction de situations où,justement, l’utilisation des machines ne dispense pas de penser. Il ne suffit pas pour cela engénéral de rajouter la machine dans une situation organisée pour un environnement en papier /crayon. Il faut savoir adapter les situations en fonction des nouvelles caractéristiques del’environnement, en prenant en compte les possibilités d’action qu’il offre et leur coût, lesrétroactions que le système peut renvoyer à l’élève, les moyens de validation dont il dispose, ilfaut aussi savoir inventer des situations qui ne pourraient pas exister en papier / crayon. Denombreux exemples existent mais cette construction n’a rien d’évident. Les situations simples etefficaces, à la portée d’enseignants formés mais non experts, ne sont pas forcément celles qui sontproduites en premier quand on est face à la richesse des possibilités offertes par lesenvironnements technologiques. La gestion elle-même de ces situations demande descompétences accrues des enseignants17. Il leur faut en particulier gérer l’interaction du calculpapier / crayon et du calcul assisté par machine, la progression articulée et cohérente descompétences dans ces deux registres. Il est clair qu’il y a là des besoins de formation énormes à lafois au niveau de la formation initiale et de la formation continue qui, pour l’instant, sont loind’être correctement assurés.Annexe pages 6‐7 :Calcul, raisonnement et calculatrices : le défi des puissances !Ce défi, proposé à des élèves de début de collège, nous semble un problème intéressant pourarticuler raisonnement et travail avec calculatrice et illustrer l’intérêt de décomposer les nombreset de jouer sur les propriétés des opérations pour obtenir, dans un calcul instrumenté, desrésultats numériques que leurs calculatrices ne peuvent afficher directement. Le problème poséest le suivant :Calculer exactement le plus grand nombre possible de puissances de 7.Ce défi, après une introduction en classe, peut vivre sur une certaine durée, avant de faire l’objetd’un travail de synthèse en classe, la progression des résultats et stratégies étant assurée parexemple par voie d’affiche dans la classe. Les élèves peuvent utiliser librement leur calculatricemais, quel que soit le modèle de calculatrice scientifique, même si on arrive à aller un peu plusloin que ce qui est immédiatement accessible, en utilisant les chiffres cachés de la calculatrice, onfinit par dépasser les potentialités de la machine. C’est dans la recherche de stratégies permettantde dépasser les limites de la machine que le travail mathématique prend son intérêt.___________________________________________________________________________Ces documents devaient nous aider à préparer notre rôle ; nous avons formé quatre groupes dediscussion afin de pouvoir préparer l’intervention : un groupe de PE, un groupe de parentd’élève, un groupe D’IEN et un groupe de professeur de collège. Emmanuelle, Perrine, Karineet Elsa ont été filmées par Pierre pendant qu’elle « jouaient » la situation proposée.Il est apparu difficile de trouver des arguments pour « justifier, expliquer » l’application destextes en vigueur…Nous avons également répondu à trois questionnaires.Albums et calculs

Pierre nous propose plusieurs albums sur ce thème :Les graines magiques ANNOLim, un jeune garçon fort paresseux, croise un jour sur sa route un magicienqui lui offre deux graines magiques. L'une va le nourrir toute l'année etl'autre il devra l'enfouir dans la terre pour récolter à nouveau deux grainesmagiques l'année d'après. L'une qui le nourrira toute l'année et la secondequ'il devra à nouveau enfouir dans la terre pour récolter l'année d'après deuxgraines magiques.L'histoire pourrait être sans fin, et sans faim pour Lim, mais même le plusparesseux des paresseux finirait par s'ennuyer toute une vie ainsi. Alors Lima une idée qui va modifier le cours des choses.365 pingouins FROMENTALLe premier de l’an, un livreur sonne à la porte, et dépose un pingouin. Un message y jointprécise qu’il convient d’en prendre soin.Le lendemain, de la même façon, un deuxième arrive soudain.Puis un troisième, le surlendemain.Et ainsi de suite, au fils de jours, des semaines, des mois, de sorte que les pingouins finissentpar s’accumuler, laissant père, mère, sœur et frère perplexes devant tous les soucis que posentces colis ...Jeux de chapeaux ANNO (illustratrice)Le loup, les crapauds et les trois petits cochons ANNOExposé : le calcul mental, Cynthia et CaroleLe calcul mental permet un travail en autonomie, il est un formidable outil pour différencier.Il est souligné qu’il est important de travailler l’intuition de nombres.Ex : 4 X 20 c’est plutôt 8, 80 ou 800 ?Calcul mental, Virginie et Aurélia : le compte est bon12 35 22 124 .10.9.3.2 10.15.20.30 7.10.5.3.20 4.3.6.2.5427.2.10.5.310X5=5050-7= 4343-3= 4040+2= 42Nous devions trouver le résultat indiqué (souligné) en utilisant une seule fois lesnombres, tous ne doivent pas forcement être utilisés et 2 solutions différentes à trouverpour chacun. Au début nous devions utiliser + et - et ensuite X, + et - .Les différentes propositions étaient inscrites au tableau.

(Pierre propose une variante avec les six 6.6 66 666 )Des situations pour utiliser la calculatrice à l’écolePrécision : utilisation de la calculatrice au CE ? ----- ce qui n’est pas interdit est autorisé !L’utilisation de la calculatrice est un fonctionnement non-naturel, il faut donc prndre cetapprentissage en charge. La différence entre apprentissage raisonné et apprentissage« sauvage » est pointée.Exemple de progression+ - = ON / OFF touches chiffres CE1X CE2MEM CM2- lien entre la calculatrice et le calcul mental :70 X 3 = 2010On peut inciter les élèves à calculer de plus en plus vite. Un enfant a la claculette et dit STOPquand il trouve le résultat. → aller plus vite que la calculette→ tous contre la calculette→ validationLa calculette n’est pas toujours la moyen le plus rapide de calculer,permet de valider le résultat.- calculatrice au service de la résolution de problèmes(AXB) + (CXD)Les énoncés doivent être devenus clairs pour les élèves (cf travail sur les touches de calcul). Ilest en effet difficile d’avoir 2 obstacles en même temps.- Jeu de VRAI ou FAUXEx : pour mettre la calculatrice en marche j’appuie sur ONQuand j’appuie sur C le 0 reste affichéJe tape 436+127 et les résulat s’affiche à l’écran…- Il est difficile de passer à côté de l’affichage :Une calculatrice avec un codage → couleur jaune pour élément de mise en marche→ bleu pour les opérations→ rouge pour les chiffresIl fait veiller à ce que les mots employés soient compris de tous les élèves quand on parle del’outil.De plus, il faut se donner les moyens de garder des traces de ce qui est fait par l’élève.