ISCID-CO - PRÉPA 1`ere année STATISTIQUES ET ... - LMPA

16 CHAPITRE 1.SÉRIES STATISTIQUES À UNE VARIABLEConsidérons l’exemple 1.4.1, supposons que l’on veuille mesurer la dispersion des valeurs des deux séries àl’aide de l’écart moyen (non absolu). On obtient– pour A : 1 [(7 − 11) + (8 − 11) + . . . + (13 − 11)] = 07– pour B : 1 [(4 − 11) + (7 − 11) + . . . + (19 − 11)] = 07En fait, ce résultat est général :Preuve : 1 n1n [(x 1 − x) + (x 2 − x) + . . . + (x n − x)] = 1 nn∑(x i − x) = 1 n∑n [ x i −i=1i=1n∑x] = = 1 ni=1n∑x i − 1 ni=1n∑(x i − x) = 0i=1n∑x = x − 1 n nx = x − x = 0Comme les écarts moyens sont nuls, on comprend l’intérêt de calculer l’écart absolu moyen.Considérons l’exemple 1.4.1,– pour A : e m = 1 [|7 − 11| + |8 − 11| + . . . + |13 − 11|] = 147– pour B : e m = 1 [|4 − 11| + |7 − 11| + . . . + |19 − 11|] = 267On retrouve bien le fait que les notes de B sont plus dispersées que celles de A.1.4.3 La variance et l’écart-typeComme cela a été montré précédemment, le calcul de la moyenne des écarts entre chaque valeur de lasérie et la moyenne arithmétique nécessite que les termes de la somme soient positifs. Il existe un autreprocédé élémentaire qui permet de surmonter cette difficulté : les carrés.Définition 1.4.3 La variance d’une série statistique est la moyenne des carrés des écarts à la moyennearithmétique xi=1V (X) = 1 nn∑(x i − x) 2 = 1 ni=1p∑n i (x i − x) 2i=1Toutefois, ce calcul n’est pas très commode : la somme nécessite le calcul de p soustractions, p mises aucarré, p multiplications et enfin p − 1 additions.La variance peut être donnée sous une autre forme plus pratique :V (X) = 1 nn∑x 2 i − x 2 = 1 ni=1p∑n i x 2 i − x 2i=1Cete fois-ci, la somme ne nécessite plus les soustractions. Démontrons ce résultat pour la version par regroupements.Preuve :V (X) = 1 np∑n i (x i − x) 2 = 1 ni=1p∑n i [x 2 i − 2x i x + x 2 ]i=1et ceci d’après l’identité remarquable (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 . Ainsi,