ISCID-CO - PRÉPA 1`ere année STATISTIQUES ET ... - LMPA

Chapitre 3Le dénombrement3.1 Notations3.1.1 Préliminaires• Soit E un ensemble fini, le cardinal de E, noté Card(E) ou |E|, désigne le nombre de ses éléments.• P(E) désigne l’ensemble des parties de E (y compris l’ensemble E lui-même et l’ensemble vide noté∅).Exemple 3.1.1 Si on se donne E = {0, 1, 2}, l’ensemble des parties de E est donné parP(E) = {∅; {0}; {1}; {2}; {0, 1}; {0, 2}; {1, 2}; E}• Soient A et B deux parties de E alors• A ∩ B = {x ∈ E/x ∈ A et x ∈ B} définit l’intersection de A et de B,• A ∪ B = {x ∈ E/x ∈ A ou x ∈ B} définit la réunion de A et de B,• A = {x ∈ E/x /∈ A} définit le complémentaire de A dans E,• A − B = {x ∈ E/x ∈ A et x /∈ B} = A ∩ B définit “A privé de B” (on écrit également A/B),• A△B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) définit la différence symétrique de A et de B.On a par conséquent A△B = {x ∈ E/(x ∈ A et x /∈ B) ou (x /∈ A et x ∈ B)} .Exemple 3.1.2 Si on se donne les ensembles E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {0, 1, 2}, B = {2, 3, 4} alors• A ∩ B = {2},• A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4},• A = {3, 4, 5, 6},• B = {0, 1, 5, 6},• A − B = A ∩ B = {0, 1},• B − A = B ∩ A = {3, 4},• A△B = {0, 1, 3, 4}.3.1.2 Ensemble produitSoient deux ensembles finis E et F .1. On appelle ensemble produit ou produit cartésien de E par F , l’ensemble notéE × F = {(x, y)/x ∈ E, y ∈ F }Exemple 3.1.3 Soient les ensembles E = {0, 1, 2} et F = {a, b}. On a alorsE × F = {(0, a); (0, b); (1, a); (1, b); (2, a); (2, b)}.47