ISCID-CO - PRÉPA 1`ere année STATISTIQUES ET ... - LMPA

Chapitre 4La probabilité4.1 Le vocabulaire4.1.1 Expérience aléatoire et universLa théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l’étude d’expériences dont onne peut prévoir le résultat avec certitude. Une telle expérience est appelée expérience aléatoire.On appelle univers, noté Ω, tout ensemble dont les éléments représentent tous les résultats possibles d’uneexpérience aléatoire. L’ensemble des résultats possibles est connu.4.1.2 EvénementsSoit Ω un univers correspondant à une certaine expérience aléatoire. Il sera noté généralementΩ = {w 1 , w 2 , . . . , w p }Les w i , éléments de Ω, sont des éventualités. Le singleton {w i } est appelé événement élémentaire. Unepartie de Ω est appelée événement, c’est un élément de P(Ω) (qui on le rappelle, définit l’ensemble desparties de Ω).Exemple 4.1.1 Dans le cas du “lancer d’un dé à 6 faces ”, les éventualités sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, les événementsélémentaires {1}, {2}, {3}, {4}, {5} et {6}. Les événements sont les parties de Ω, par exemple, l’événement“obtenir un nombre pair ” peut s’écrire A = {2, 4, 6}.On a également les définitions suivantes : soit A un événement de Ω,– on dit que A se réalise si le résultat obtenu à l’issue de l’expérience aléatoire est un élément de A.– Soit A un événement de Ω. On appelle événement contraire de A (ou complémentaire), noté Ā,l’ensemble des éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A. Autrement dit, l’événement Ā se réaliselorsque l’événement A ne se réalise pas.– Soient A et B deux événements de Ω. On appelle intersection de A et B le sous-ensemble deséléments de Ω qui appartiennent à la fois à A et à B et on le note A ∩ B. Autrement dit, l’événementA ∩ B se réalise lorsque les événements A et B se réalisent.– Soient A et B deux événements de Ω. On appelle réunion de A et B le sous-ensemble des élémentsde Ω qui appartiennent à A ou à B et on le note A ∪ B. Autrement dit, l’événement A ∪ B se réaliselorsque au moins l’un des événements A et B se réalise.4.1.3 Propriétés de P(Ω)1. Ω ∈ P(Ω), Ω est appelé événement certain.2. ∀A ∈ P(Ω) ⇒ A ∈ P(Ω)En particulier Ω ∈ P(Ω) ⇒ Ω = ∅ ∈ P(Ω). L’ensemble vide est appelé événement impossible.57