ISCID-CO - PRÉPA 1`ere année STATISTIQUES ET ... - LMPA

4.4. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 634. Soient A et B deux événements indépendants alors A et B sont indépendants.En effet p(A ∩ B) = p(B) × p(A/B) or p(A/B) = 1 − p(A/B) donc p(A ∩ B) = p(B)[1 − p(A/B)] =p(B)[1 − p(A)] car A et B sont indépendants. Enfin, p(A ∩ B) = p(B)p(A) ce qui signifie que A et Bsont indépendants.Remarque 4.4.3 Il en est de même pour A et B, A et B.✞☎✝Exercice 55 ✆ Une classe de Prépa 1 - ISCID compte 4 garçons et 6 filles en première année, 6 garçons enseconde année. Combien doit-il y avoir de filles de seconde année si l’on veut que “sexe” et “année” soientdes facteurs indépendants lors du choix au hasard d’un étudiant ?4.4.4 La formule de Bayes1. Soient (Ω, P(Ω), p) un espace probabilisé et un système complet d’événements B 1 , B 2 , . . . , B n deux àdeux incompatibles (B i ∩ B j = ∅ pour i ≠ j et ∪ i∈IB i = Ω), on dit que les (B i ) i∈I forment unepartition de Ω.Soit A un événement de probabilité non nulle, on peut alors écrire la formule de Bayes donnant laprobabilité pour que B i se réalise sachant A :Preuve : A = A ∩ Ω = A ∩( ∪i∈IB i)pour i ≠ j. Par conséquent, p(A) = ∑ i∈Ip(B i /A) = p(B i) × p(A/B i )∑p(B j ) × p(A/B j )j∈I= ∪ i∈I(A ∩ B i ). De plus, (A ∩ B i ) ∩ (A ∩ B j ) = A ∩ (B i ∩ B j ) = A ∩ ∅ = ∅p(A ∩ B i ) = ∑ i∈Ip(B i ) × p(A/B i ). Or on sait que p(B i /A) peuts’écrire sous la forme p(B i /A) = p(A ∩ B i)p(A)= p(B i) × p(A/B i )p(A)d’où la formule de Bayes.2. Dans le cas d’un système complet de deux événements B 1 et B 2 (B 1 ∩ B 2 = ∅, B 1 ∪ B 2 = Ω),p(B 1 ) × p(A/B 1 )• p(B 1 /A) =p(B 1 ) × p(A/B 1 ) + p(B 2 ) × p(A/B 2 )p(B 2 ) × p(A/B 2 )• p(B 2 /A) =p(B 2 ) × p(A/B 2 ) + p(B 1 ) × p(A/B 1 )3. Dans le cas d’un système complet de trois événements B 1 , B 2 et B 3 (B 1 ∩ B 2 = B 2 ∩ B 3 = B 1 ∩ B 3 =∅, B 1 ∪ B 2 ∪ B 3 = Ω), on a par exemplep(B 1 /A) =p(B 1 ) × p(A/B 1 )p(B 1 ) × p(A/B 1 ) + p(B 2 ) × p(A/B 2 ) + p(B 3 ) × p(A/B 3 ) .✞☎✝Exercice 56 ✆ On suppose que les essais d’un test médical sur une population ont conduit à admettrepour un individu les probabilités suivantes, le test servant à dépister une certaine maladie.– Probabilité pour qu’un malade ait un test positif (donc probabilité pour que le test soit positif sachantque la personne est malade) : p(T/M) = 0, 95.– Probabilité pour qu’un non-malade ait un test négatif (donc probabilité pour que le test soit négatifsachant que la personne est saine) : p(T /M) = 0, 95.– Probabilité pour qu’un individu soit atteint de la maladie p(M) = 0, 01.Quelle est la probabilité pour qu’un individu qui a donné lieu à un test positif soit atteint de la maladie ?