ISCID-CO - PRÉPA 1`ere année STATISTIQUES ET ... - LMPA

2.5. AJUSTEMENT LINÉAIRE (OU AFFINE) 41On dit aussi droite de régression de X en YPropriété 2.5.2 La droite des moindres carrés de X par rapport à Y est notée D X/Y . Son équation estx = a ′ y + b ′avec⎧⎨⎩a ′ = Cov(X, Y )V (Y )b ′ = x − a ′ ycoefficient directeur de D X/YRemarque 2.5.1– Les deux droites D Y/X et D X/Y passent par le point moyen du nuage.– Les points du nuage sont alignés si et seulement si les droites D Y/X et D X/Y sont confondues.Propriété 2.5.3Preuve :D Y/X = D X/Y ⇔ r 2 = 1– L’équation de D Y/X peut se réécrire sous la forme y = ax + (y − ax) ⇔ a(x − x) = y − y– De même, l’équation D X/Y peut s’écrire x = a ′ y + (x − a ′ y) ⇔ x − x = a ′ (y − y)Donc, D Y/X = D X/Y ⇔ a.a ′ = 1 ⇔Cov(X, Y )2σ 2 X σ2 YOn a finalement les 5 cas graphiques suivants := 1. Or r = Cov(X, Y )σ X σ Ydonc on obtient le résultat voulu.