UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

6 Introduction généralede X, et l’on note d, le nombre d’auto-intersection du faisceau canonique de X. Si X est unesurface de del Pezzo, alors 1 d 9 ; si X est un fibré en coniques au-dessus d’une coniqueavec r fibres géométriques singulières, alors d = 8 − r (de sorte que d 8 et qu’il n’y a pas deborne inférieure pour d). Manin et Swinnerton-Dyer ont résolu toutes les questions qualitativesconcernant l’ensemble X(k) lorsque d 5 (cf. [45] et [68]). Il résulte en effet de leurs travauxque l’on a toujours X(k) = X(A k ) si d 5 ; en particulier, le principe de Hasse est vérifié.Restent les surfaces fibrées en coniques au-dessus d’une conique avec r 4 fibres géométriquessingulières et les surfaces de del Pezzo de degré d 4. Le meilleur résultat connu à cejour concernant les points rationnels des surfaces fibrées en coniques au-dessus d’une coniqueest dû à Colliot-Thélène, Salberger, Sansuc, Skorobogatov et Swinnerton-Dyer, qui établirentl’égalité X(k) = X(A k ) Br(X) dès que r 5 (c’est-à-dire d 3). La démonstration en est extrêmementsubtile (cf. [18], [19], [11], [54], [55]) ; notamment, le cas particulier des surfacesde Châtelet (cas où X est de degré 4 mais n’est pas une surface de del Pezzo) fut l’un desgrands succès de la théorie de la descente de Colliot-Thélène et Sansuc. Swinnerton-Dyer apar ailleurs obtenu des résultats pour certaines surfaces fibrées en coniques au-dessus d’uneconique avec six fibres géométriques singulières (cf. [65, §7.4]).Soit X une surface de del Pezzo de degré d 4. Si d 3, le faisceau anti-canonique de Xest très ample et permet de voir X comme une surface de degré d dans P d k ; les surfaces de delPezzo de degré 3 sont exactement les surfaces cubiques lisses et les surfaces de del Pezzo dedegré 4 sont les intersections lisses et de codimension 2 de deux quadriques dans P 4 k (cf. [45,p. 96]). Ainsi les exemples de Swinnerton-Dyer, Cassels et Guy puis Birch et Swinnerton-Dyermontrent-ils que le principe de Hasse peut être en défaut pour les surfaces de del Pezzo dedegré 3 et 4 (et a fortiori pour les surfaces de del Pezzo de degré 2 : il suffit d’éclater un point dedegré 2 sur une surface de del Pezzo de degré 4 qui est un contre-exemple au principe de Hasse).Salberger et Skorobogatov [55] ont établi que si d = 4 et si X(k) ≠ ∅, alors X(k) = X(A k ) Br(X) .C’est le seul résultat véritablement général dont on dispose à l’heure actuelle pour les surfacesde del Pezzo de degré 4 ; il ne dit rien sur l’implication X(A k ) Br(X) ≠ ∅ ⇒ X(k) ≠ ∅, quin’est connue que dans très peu de cas (dont nous dresserons la liste plus bas lorsque d = 4).Suite à leurs travaux sur la descente pour les variétés rationnelles, Colliot-Thélène et Sansucont conjecturé la validité de l’égalité X(k) = X(A k ) Br(X) pour toute surface rationnelle X (etmême pour toute variété rationnelle, cf. [12, p. 319]). Comme il ressort des deux paragraphesqui précèdent, on est encore très loin de savoir établir cette conjecture.(m) pour tout m ∈ Z, alorsil existe une infinité de m ∈ Z tels que les entiers p 1 (m), . . ., p s (m) soient tous des nombrespremiers. Le cas où s = 1 et deg(p 1 ) = 1 est un théorème bien connu de Dirichlet. Hasse s’enservit pour démontrer le théorème de Hasse-Minkowski ; en 1978, Colliot-Thélène et Sansucremarquèrent qu’un argument similaire à celui employé par Hasse permet d’établir l’existenceLa situation est déjà plus favorable si l’on admet l’hypothèse de Schinzel (cf. [56]). Il s’agitd’une conjecture hardie généralisant notamment la conjecture des nombres premiers jumeaux.Elle s’énonce ainsi : si p 1 , . . ., p s ∈ Z[t] sont des polynômes irréductibles de coefficients dominantspositifs et s’il n’existe pas d’entier n > 1 divisant ∏ si=1 p i