UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

24 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables IDémonstration — Comme l’équation de Weierstrass (1.4) est minimale, l’ouvert de lissitésur A 1 k du sous-schéma fermé de P2 k × k A1 k défini par (1.4) s’identifie à E 0 (cf. [61, Ch. IV,A 1 k§9, Cor. 9.1]). Il suffit donc de lire l’équation (1.4) modulo M pour déterminer quel pointd’ordre 2 se spécialise sur EM 0 : c’est celui qui ne se spécialise pas sur le point singulier de lacubique réduite.□Soient i ∈ {1, 2, 3} et p un facteur irréductible de p i , s’annulant en M ∈ M . D’après lelemme 1.6 et la proposition A.14, le sous-groupe E η (K sh M )/2 ⊂ H1 (K sh M , 2E η ) = 2 E η (K) est égalau sous-groupe de 2 E η (K) engendré par le point de coordonnées (X, Y) = (e i , 0). L’imagede m dans H 1 (K sh M , 2 E η ) appartient donc à E η (Ksh M )/2 si et seulement si v M (m i ) = 0, d’où laproposition.□Proposition 1.7 — Soit M ∈ M . Si le polynôme r s’annule en M avec multiplicité 1,alors L M = κ(M). Sinon, la classe dans κ(M) ⋆ /κ(M) ⋆2 de l’extension quadratique ou trivialeL M /κ(M) est égale à la classe de p j (M), où (i, j, k) est l’unique permutation cyclique de (1, 2, 3)telle que p i (M) = 0.Démonstration — Notons n l’ordre du groupe F M (L M ). Comme n = 2v M (r), soit r s’annuleen M avec multiplicité 1, auquel cas n = 2 et donc L M = κ(M), soit n > 2 et L M est alorsla plus petite extension de κ(M) sur laquelle sont définies les pentes des tangentes au pointsingulier de la cubique obtenue en réduisant l’équation (1.4) modulo M (cf. proposition A.4 etlemme A.7). La classe de cette dernière extension est bien celle de p j (M).□Pour M ∈ M , notons γ M ∈ κ(M) ⋆ /κ(M) ⋆2 la classe de L M /κ(M). Comme le L M -groupeF M ⊗ κ(M) L M est constant cyclique d’ordre pair (cf. proposition A.3), les suites exactes0 2F M F M 2F M 0 (1.5)et0 2F M F M F M /2 0 (1.6)permettent de voir que 2 H 1 (L M , F M ) = H 1 (L M , 2 F M ) = H 1 (L M ,Z/2) = L ⋆ M /L⋆2 M , d’où uneinjection canonique κ(M) ⋆ /〈κ(M) ⋆2 , γ M 〉 ֒→ H 1 (L M , F M ).Proposition 1.8 — Soit M ∈ M . L’application δ M : S 2 (A 1 k , E ) → H1 (L M , F M ) se factorisepar le sous-groupe κ(M) ⋆ /〈κ(M) ⋆2 , γ M 〉. Pour tout m ∈ S 2 (A 1 k , E ), on aδ M (m) = m i (M) ( p j (M) ) v M (m j ) ∈ κ(M) ⋆ /〈κ(M) ⋆2 , γ M 〉,où le triplet (m 1 , m 2 , m 3 ) représente m et (i, j, k) est l’unique permutation cyclique de (1, 2, 3)telle que p i (M) = 0.