UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

36 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables Ide H(k) pour désigner son image dans (Z/2) 2 par la flèche induite par la valuation normaliséeassociée à v ; de même pour la valuation en M ∈ M d’un élément de H(U).La valuation d’un élément de H(k) est égale à son image par la flèche de restriction H(k) =H 1 (k, 2 E x ) → H 1 (kv nr , 2 E x ) = H(kv nr ) = (Z/2) 2 . La condition en une place v ∈ T(x) \ S sur una ∈ H(k) pour qu’il appartienne à N est donc que sa valuation en v appartienne au sous-groupeW v (E x ) ⊂ (Z/2) 2 introduit au paragraphe 1.4.Soit N 1 ⊂ N le sous-groupe constitué des vecteurs e ∈ N ayant mêmes valuations en vet en v M pour tout M ∈ M et tout v ∈ T M . Nous allons maintenant montrer que l’on peutinjecter N dans le groupe de 2-Selmer géométrique de E au-dessus de la droite affine, ce quipermettra ensuite de comparer les sous-espaces N 1 pour diverses valeurs de x et T .Lemme 1.19 — L’application H(U OT) → H(O T(x) ) d’évaluation en x est un isomorphisme.Démonstration — Remarquons d’abord que l’application en question est bien définie, car˜x ∩ P 1 O T(x)⊂ U OT. Elle s’inscrit dans le diagramme0 H(O T ) H(U OT)α∏(Z/2) 2 0M∈M0 H(O T ) H(O T(x) )β∏(Z/2) 2 0,(1.16)M∈Moù α associe à un couple de classes de fonctions rationnelles sur P 1 k la famille des classesmodulo 2 de leurs ordres d’annulation aux points de M , et β est induite par les valuations v Msur k. Ce diagramme commute en vertu de l’hypothèse de transversalité dans la définition d’uncouple préadmissible, et ses lignes sont exactes parce que les groupes Pic(A 1 O T) et Pic(O T ) sontnuls (par construction de S 0 ). Le lemme des cinq permet de conclure.□On notera ψ: H(O T(x) ) → H(U OT) l’isomorphisme inverse de l’évaluation en x. Le groupeI T(x) ⊂ H 1 (k, 2 E) = H(k) s’identifie à H(O T(x) ) puisque T(x) contient un système de générateursdu groupe de classes de k. On peut donc considérer l’image de N par ψ.Proposition 1.20 — Pour tout M ∈ M et tout a ∈ H(U OT), l’image de a dans H 1 (K sh M , 2 E η ) =(Z/2) 2 appartient au sous-groupe E η (K sh M )/2 si et seulement si l’image de a(x) par la valuationv M appartient au sous-groupe W vM(E x ) ⊂ (Z/2) 2 .Démonstration — Vu la commutativité du diagramme (1.16), il suffit de montrer que lessous-groupes W vM(E x ) et E η (K sh M )/2 de (Z/2)2 sont égaux, ce qui résulte du lemme suivant. □Lemme 1.21 — Pour tout M ∈ M et tout v ∈ T M ∪ {v M }, les sous-groupes W v (E x ) etE η (K sh M )/2 de (Z/2)2 sont égaux et d’ordre 2.