UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

38 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables Idit, si l’on note Y → U ′ k vun torseur sous E U ′kvdont la classe dans H 1 (U ′ k v, E ) est l’image de αpar la composéeH(k v ) ⊂ H(U ′ k v) ⊂ H 1 (U ′ k v, 2 E ) −→ H 1 (U ′ k v, E ),on doit prouver que l’image de l’application Y(k v ) → U ′ (k v ) est ouverte et fermée. Ces deuxpropriétés découlent respectivement de la lissité et de la propreté du morphisme Y → U ′ k v(l’image est ouverte d’après le théorème des fonctions implicites ; pour montrer qu’elle estfermée, on peut remarquer que le morphisme Y → U ′ k vest projectif, auquel cas l’assertion estévidente, ou se servir du lemme de Chow pour se ramener à cette situation). □Passons maintenant à l’étude de la forme bilinéaire symétrique 〈·, ·〉 sur ψ(N 1 ) induite parla forme bilinéaire N × N → Z/2 définie par (1.9).Lemme 1.25 — Pour tout M ∈ M , il existe g M ∈ S 2 (A 1 k , E ) ∩ H(U O S) tel que pour tous Tet x tels que (S, T , x) soit admissible et tout v ∈ T M ∪ {v M }, l’image de g M (x) dans V vappartienne à W v (E x ) mais pas à K v .Démonstration — Soit M ∈ M . Supposons d’abord que le groupe F M (L M ) ne soit pas d’ordre 2.Comme Pic(O S ) = 0, il existe une fonction f ∈ G m (U OS) de valuation 1 en M et de valuationnulle en tout autre point de M . Notons P ∈ 2 E η (K) l’unique point d’ordre 2 qui se spécialisesur EM 0 (cf. lemme A.13) et g M ∈ H(U OS) l’image de f par l’application obtenue en tensorisantpar G m (U OS)/2 l’inclusion ι: Z/2 ֒→ Z/2 × Z/2 de P dans 2 E η (K) = Z/2 × Z/2.Montrons que g M ∈ S 2 (A 1 k , E ). La condition aux points de M \ {M} est satisfaite puisquel’image de g M dans H 1 (K sh M ′, 2 E η ) est même nulle pour M′ ≠ M. Pour vérifier que l’imagede g M dans H 1 (K sh M , 2E η ) appartient au sous-groupe E η (K sh M )/2, il suffit de constater qu’elleappartient à l’image de la flèche H 1 (K sh M ,Z/2) → H1 (K sh M , 2 E η ) induite par ι (c’est l’image dela classe de f) et d’appliquer la proposition A.14.Soient T et x tels que le triplet (S, T , x) soit admissible. Soit v ∈ T M ∪{v M }. La commutativitédu diagramme (1.16) entraîne que les images respectives de g M et de g M (x) dans (Z/2) 2par les valuations en M et en v M coïncident. Compte tenu du lemme 1.21 et de la définitionde g M , il en résulte que l’image de g M (x) dans V v appartient à W v (E x ) + K v mais pas à K v .Il reste seulement à prouver qu’elle appartient à W v (E x ), ou encore, ce qui revient au même,que son image γ dans H 1 (k v , E x ) est nulle. Notons P x ∈ E x (k) l’image de P par l’isomorphismecanonique 2 E η (K) = 2 E x (k) et ϕ: E x → E x ′′ le quotient de E x par P x . Soient E x (resp. E ′′ x) lemodèle de Néron de E x ⊗ k k v (resp. E x ′′ ⊗ k k v ) au-dessus de O v et F (resp. F ′′ ) le κ(v)-groupefini étale des composantes connexes de la fibre spéciale de E x (resp. E ′′ x ). D’après la propriétéuniverselle des modèles de Néron, l’isogénie ϕ s’étend en un morphisme ϕ: E x → E ′′ x . L’appartenancede l’image de g M (x) dans V v au sous-groupe W v (E x )+K v se traduit par celle de γà H 1 (O v , E x ), d’après la suite spectrale de Leray pour le faisceau étale E x ⊗ k k v sur Spec(k v )et l’inclusion du point générique de Spec(O v ). Comme F M (L M ) est d’ordre pair (cf. propositionA.3) différent de 2, il résulte de la conclusion du lemme 1.18 que la courbe elliptique E x