UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

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$Corps finis, corps de fractions rationnelles (TD4)$

2 Table des matières3 Principe de Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4 993.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2 Obstruction de Brauer-Manin verticale pour un morphisme vers P n . . . . . . 1053.3 Généralités sur les pinceaux de quadriques dans P n . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4 Surfaces de del Pezzo de degré 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.4.1 Notations, énoncés des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.4.2 Groupe de Brauer d’une surface de del Pezzo de degré 4 . . . . . . . . 1273.4.3 La construction de Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.4.4 Calculs explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.4.5 Spécialisation de la condition (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4.6 Vérification de la condition (D) générique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.4.7 Preuve du théorème 3.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.4.8 Groupe de Brauer et obstruction à la méthode . . . . . . . . . . . . . . 1723.5 Intersections de deux quadriques dans P n pour n 5 . . . . . . . . . . . . . . 1743.5.1 Un résultat de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.5.2 Preuve du théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Annexe 179Index des notations 187Bibliographie 189
3Introduction généraleLes trois chapitres de cette thèse ont pour thème commun l’étude qualitative des pointsrationnels des variétés algébriques définies sur un corps de nombres. Les résultats principauxsont obtenus à la fin du troisième chapitre ; celui-ci repose sur le second chapitre. Il est possiblede lire le troisième chapitre après avoir seulement pris connaissance des énoncés du secondchapitre. Le premier chapitre est logiquement indépendant des deux autres mais une certainefamiliarité avec son contenu facilitera assurément la tâche du lecteur désireux de suivre lespreuves du second chapitre.Chaque chapitre débute par une introduction approfondie où tous les résultats obtenussont détaillés et discutés. Il ne nous a pas semblé utile de les répéter ici ; aussi invitons-nousle lecteur à consulter ces diverses introductions pour une description précise du contenu dechaque chapitre. Les quelques paragraphes qui suivent ont pour but d’énoncer les deux résultatsprincipaux de cette thèse, après avoir rappelé le contexte dans lequel ils se placent. Ilest impossible de donner une vue d’ensemble raisonnablement complète des questions, conjectures,théorèmes et méthodes qui interviennent dans l’étude qualitative des points rationnelsdes variétés algébriques sur les corps de nombres sans que l’exposé ne prenne de proportionsincongrues. Nous nous sommes donc limité à l’essentiel ; on trouvera de très nombreux complémentsdans les articles de synthèse [12], [13], [15], [35], [51], [73] ainsi que dans le livre [65].Soient k un corps de nombres et X une variété algébrique propre, lisse et géométriquementconnexe sur k. Les premières questions qualitatives qui viennent à l’esprit lorsqu’on considèrel’ensemble X(k) des points rationnels de X sont les suivantes : cet ensemble est-il non vide ?est-il infini ? est-il dense dans X pour la topologie de Zariski ? existe-t-il un algorithme (aussiinefficace soit-il) qui puisse résoudre chacune de ces questions en temps fini pour tout X ? Afind’éviter tout malentendu au sujet de cette dernière question, rappelons que les travaux de Matiyasevichet de ses prédécesseurs sur le dixième problème de Hilbert concernaient les solutionsentières à des systèmes d’équations polynomiales à coefficients entiers ; ils ont établi qu’aucunalgorithme (au sens de Turing) ne peut déterminer systématiquement si de telles solutionsexistent. Le problème analogue avec des coefficients rationnels est une question ouverte ; tousles mathématiciens ne sont pas d’avis que sa réponse est négative.Pour qu’il existe un point rationnel sur X, il est évidemment nécessaire que X(k v ) ≠ ∅pour toute place v ∈ Ω, où Ω désigne l’ensemble des places de k et k v le complété de k en v.Lorsque cette condition est suffisante, c’est-à-dire lorsque ∏ v∈Ω X(k v) ≠ ∅ ⇒ X(k) ≠ ∅,
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