UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

42 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables IPour M ∈ M , notons θ M ∈ κ(M) l’image de t par le morphisme k[t] → κ(M) déduit del’inclusion de M dans A 1 k . Si E est une extension quadratique ou triviale de κ(M), on poseA E/κ(M) = Cores κ(M)(t)/k(t) (E/κ(M), t − θ M ) ∈ 2 Br(U),où (·, ·) désigne le symbole de Hilbert sur le corps κ(M)(t). Soit B 0 ⊂ Br(U) le sous-groupeengendré par les classes A KM /κ(M) et A LM /κ(M) pour M ∈ M (cf. lemme 1.17 pour la définitionde K M ).Lemme 1.28 — Soient v ∈ Ω f et x v ∈ U(k v ). Supposons que pour tout M ∈ M , toute placede κ(M) divisant v soit totalement décomposée dans L M K M . Alors inv v A(x v ) = 0 pour toutA ∈ B 0 .Démonstration — On peut supposer que A = A E/κ(M) pour un M ∈ M et un E ∈ {L M , K M }.On a alorsinv v A(x v ) = ∑ inv w (E/κ(M), x v − θ M ),w|voù la somme porte sur les places de κ(M) divisant v. L’image dans κ(M) ⋆ w /κ(M)⋆2 w de la classede l’extension quadratique ou triviale E/κ(M) est nulle par hypothèse, d’où le résultat. □Proposition 1.29 — Soit (S, T , x) un triplet préadmissible tel que le couple (S, T ) soitadmissible et que∑inv v A(x) = 0v∈Spour tout A ∈ B 0 . Supposons de plus les extensions finies L M /k et K M /k non ramifiées horsde S pour tout M ∈ M . Alors le triplet (S, T , x) est admissible.Démonstration — On doit prouver que pour tout M ∈ M , la place w M de κ(M) est totalementdécomposée dans L M et dans K M . Soit E ∈ {L M , K M } ; notons A = A E/κ(M) . Pour toute placev ∈ Ω, on ainv v A(x) = ∑ w|vinv w (E/κ(M), x − θ M ),où la somme porte sur les places w de κ(M) divisant v. L’élément x − θ M ∈ κ(M) est uneunité en toute place w de κ(M) dont la trace n’appartient pas à S, à l’exception des places deT M ′ ∪ {w M }, en lesquelles x − θ M est une uniformisante. Comme E/κ(M) est non ramifiée endehorsdes places divisant S et que S contient les places dyadiques et les places archimédiennes,on en déduit que inv v A(x) = 0 pour tout v ∈ Ω \ (T M ∪ {v M }) et que pour v ∈ T M ∪ {v M },inv v A(x) = 0 si et seulement si l’unique place de T M ′ ∪ {w M } divisant v est totalementdécomposée dans E (cf. [22, Prop. 1.1.3]). Cette dernière condition est satisfaite pour touteplace v ∈ T M puisque le couple (T , x) est admissible. L’hypothèse de la proposition et la loi