UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

40 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables Iest d’ordre 2). Quitte à modifier les α v, ′ on peut donc supposer que α v = g M (x) pour toutv ∈ ⋃ M∈M(a) (T M ∪ {v M }) et que α v = 0 pour tout autre v ∈ T(x) \ S. On a alors〈a, b〉 = ∑v∈T(x)〈α v , b(x)〉 v = ∑ v∈S〈α v , b(x)〉 v + ∑M∈M(a)⎛⎝∑v∈T M ∪{v M }⎠.〈g M (x), b(x)〉 v⎞Le terme ∑ v∈S 〈α v , b(x)〉 v est indépendant de (T , x) si les A v sont assez petits, d’après lelemme 1.24. Le lemme suivant montre qu’il en va de même pour les autres termes de la sommeci-dessus, ce qui termine de prouver la proposition 1.23.□Lemme 1.26 — Soient f, g ∈ S 2 (A 1 k , E ) ∩ H(U O S). Pour tout M ∈ M ,∑v∈T M ∪{v M }〈f(x), g(x)〉 v ∈ Z/2est indépendant du couple (T , x) tel que le triplet (S, T , x) soit admissible et que x ∈ A v pourtout v ∈ S.Démonstration — La surjectivité de l’applicationG m (U OS)/2 −→ ∏qui est une conséquence de la nullité de Pic(A 1 O S), permet de supposer que la valuation de fest nulle en tout point de M sauf au plus un, et de même pour g. Quitte à remplacer f ou gpar fg, ce qui ne modifie pas la somme ci-dessus puisque l’accouplement 〈·, ·〉 v est alterné,on peut supposer qu’au moins l’un de f et de g est de valuation nulle en M ; en effet, lesvaluations de f et de g en M sont égales si elles ne sont pas nulles puisque f, g ∈ S 2 (A 1 k , E )et que E η (K sh M )/2 est d’ordre 2. Enfin, quitte à échanger f et g, on peut supposer la valuationde f en M nulle.Tout h ∈ G m (A 1 O S\ ˜M)/2 est représenté par une fonction régulière sur A 1 O S, autrement ditpar un polynôme p(t) ∈ O S [t]. Fixons h et supposons p non constant. Alors κ(M) = k[t]/(p(t)),et si l’on note θ ∈ κ(M) l’image de la classe de t et u ∈ O S le coefficient dominant de p, on ap(t) = uN κ(M)/k (t − θ). Comme ˜M ne rencontre pas la section à l’infini au-dessus de O S (pardéfinition de la préadmissibilité), le polynôme N κ(M)/k (t − θ) est de valuation nulle en touteplace v ∉ S. Par conséquent u ∈ O ⋆ S . Ainsi a-t-on prouvé que G m (A1 O S\ ˜M)/2 est engendrépar G m (O S )/2 et par le sous-groupe des normes de κ(M) à k.Appliquons ceci aux deux composantes de g : il existe g 1 ∈ H(A 1 κ(M) \ {M}) et u ∈ H(O S)tels que g = uN κ(M)/k (g 1 ). On a alors g(x) = uN κ(M)/k (g 1 (x)). Notons f(x) ∪ g(x) la classe de2Br(k) obtenue par l’accouplement de Weil et le cup-produit des classes de f(x) et de g(x)M∈MZ/2,