UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

8 Introduction généraleégalement à des surfaces qui ne sont pas rationnelles, par exemple des surfaces K3. Swinnerton-Dyer prouva ainsi le principe de Hasse pour une famille de surfaces quartiques diagonales,sous l’hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich (cf. [71]). Plusrécemment, et malgré des difficultés techniques formidables, Skorobogatov et Swinnerton-Dyer [66] ont pu démontrer le principe de Hasse pour certaines surfaces de Kummer, enadmettant la finitude des groupes de Tate-Shafarevich des courbes elliptiques sur k mais nonl’hypothèse de Schinzel (remplacée par le théorème de Dirichlet).Pour ce qui est des variétés de dimension > 2, il n’est pas possible à l’heure actuelled’entamer une étude systématique des propriétés qualitatives de l’ensemble de leurs pointsrationnels, pour la simple raison que l’on ne dispose pas de classification satisfaisante desvariétés à étudier (qu’il s’agisse d’une classification géométrique, ou, si l’on se restreint auxvariétés rationnelles, d’une classification k-birationnelle). On doit donc se contenter de situationsqui sont « simples » d’un certain point de vue ; par exemple, de nombreux résultats ontété obtenus par divers auteurs pour les compactifications lisses d’espaces homogènes sous desgroupes algébriques linéaires ou, dans une autre direction, pour les espaces totaux des fibrationsau-dessus de P 1 k dont les fibres vérifient l’égalité X(k) = X(A k) Br(X) . Le lecteur trouveradans [12] une conjecture prédisant l’égalité X(k) = X(A k ) Br(X) pour une large classe de variétésnon nécessairement rationnelles qui englobe notamment les surfaces fibrées en courbesde genre 1 étudiées dans [20]. Une autre possibilité est de considérer les variétés projectivesdéfinies par les équations les plus simples possibles : après les quadriques, qui satisfont auprincipe de Hasse, se trouvent les intersections de deux quadriques dans P n k , puis les hypersurfacescubiques, etc. Pour chaque tel type de variété projective, la théorie analytique desnombres permet d’établir le principe de Hasse si n assez grand (avec une borne explicite), aumoins lorsque k = Q. Toute la difficulté est de s’approcher de la valeur minimale de n.Soient n 4 et X une intersection lisse de deux quadriques dans P n k . Comme on l’a vu, il estconjecturé que X(k) = X(A k ) Br(X) lorsque n = 4 ; cette conjecture implique que X(k) = X(A k )pour n 5 (cf. [33]). Les deux assertions sont connues lorsque X(k) ≠ ∅, de sorte que seul leprincipe de Hasse reste à étudier. Voici ce que l’on en sait. Tout d’abord, en 1959, Mordell [49]établit le principe de Hasse pour X lorsque n 12 et k = Q. En 1964, Swinnerton-Dyer [67]l’établit pour n 10 et k = Q (cf. également [19, Remark 10.5.2]). En 1971, Cook [24] yparvint pour n 9 et k = Q lorsque X est une intersection de deux quadriques simultanémentdiagonales dans P n k . En 1987, pour k arbitraire, Colliot-Thélène, Sansuc et Swinnerton-Dyerobtinrent le principe de Hasse pour X lorsque n 8 ainsi que dans quelques cas particuliersconcernant les intersections de deux quadriques qui contiennent soit deux droites gauchesconjuguées, soit une quadrique de dimension 2 (cf. [18], [19]). Par la suite, Debbache putdémontrer le principe de Hasse pour X lorsque n = 7 et que X est inclus dans un cônequadratique et Salberger prouva sans restriction sur n que X(A k ) Br(X) ≠ ∅ ⇒ X(k) ≠ ∅ si Xcontient une conique définie sur k. Si n = 4 et que X n’est pas l’éclaté d’une surface de del Pezzode degré 5 (auquel cas il n’y aurait rien à démontrer), le seul autre résultat connu est celui,déjà cité, de Colliot-Thélène, Skorobogatov et Swinnerton-Dyer, qui établissent le principede Hasse pour les intersections suffisamment générales de deux quadriques simultanément