UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

34 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables Iv: Z/2 → H 1 (κ(M), F M ) le bord de la suite exacte verticale de gauche du diagramme ci-dessus.Remarquant que la flèche oblique est l’endomorphisme de Z/2n de multiplication par 2, unechasse au diagramme permet de voir qu’il existe α ∈ H 1 (κ(M),Z/2) et β ∈ Z/2 tels qued = u(α) + v(β), grâce à l’hypothèse selon laquelle 2d = 0. Soit K M,d l’extension quadratiqueou triviale de κ(M) définie par α. L’image de v(β) dans H 1 (L M , F M ) est nulle puisque l’applicationH 0 (L M ,Z/4n) → H 0 (L M ,Z/2) issue de la suite exacte verticale du diagramme (1.12)est surjective. Il en résulte que l’extension K M,d /κ(M) satisfait bien aux conditions voulues. □On notera par la suite K M le corps K M,d donné par le lemme 1.17 en prenant pour d l’imagede [X ].Le couple (S, T ) sera dit admissible s’il est préadmissible et que la condition suivante estvérifiée :(1.13) pour tout M ∈ M , les places de T ′ M sont totalement décomposées dans L MK M .Si x ∈ U(k), on dit enfin que le triplet (S, T , x) est admissible s’il est préadmissible, si lecouple (S, T ) est admissible et si pour tout M ∈ M , la place w M est totalement décomposéedans L M K M .1.5.2 Calcul symétrique des groupes de Selmer en famillePour chaque x ∈ U(k), les résultats du paragraphe 1.4 fournissent un F 2 -espace vectorielde dimension finie muni d’une forme bilinéaire symétrique dont le noyau est canoniquementisomorphe au groupe de 2-Selmer de E x . Si l’on cherche à étudier la variation des groupesde 2-Selmer des fibres de E U → U au-dessus de points rationnels, il convient de s’intéresserd’abord à la variation de cette forme bilinéaire et de l’espace sur lequel elle est définie.Fixons un isomorphisme de K-groupes 2 E ∼ η −→ (Z/2) 2 . Il s’en déduit un isomorphisme2 E −→ ∼ (Z/2) 2 de P 1 k-schémas en groupes (par exemple en appliquant aux faisceaux étalesassociés le foncteur d’image directe par l’inclusion du point générique), et donc un isomorphismede k-schémas en groupes 2 E ∼ x −→ (Z/2) 2 pour tout x ∈ P 1 k . Utilisant l’additivité de lacohomologie, on obtient des isomorphismes H 1 (K, 2 E η ) −→ ∼ H(K), H 1 (k, 2 E x ) −→ ∼ H(k), etc. Ilsseront par la suite sous-entendus.( ⋃Posons U = P 1 O \ ˜M)M∈M ∪{∞}. Conformément aux conventions de l’introduction, nousnoterons U OSle O S -schéma U ⊗ O O S , pour S ⊂ Ω. Il est égal à U ∩ P 1 O S. Soit S 0 ⊂ Ω unensemble fini contenant l’ensemble S 0 du paragraphe 1.4, assez grand pour que l’image de2E η (K) dans E η (K)/2 ⊂ H 1 (U,Z/2) = H(U) (cf. lemme 1.3) soit incluse dans H(U OS0) et pourque la conclusion du lemme suivant soit satisfaite.Lemme 1.18 — Il existe un ensemble fini S 0 ⊂ Ω tel que pour tout triplet admissible (S, T , x)avec S 0 ⊂ S, tout M ∈ M et tout v ∈ T M ∪ {v M }, le κ(v)-groupe des composantes connexesde la fibre spéciale du modèle de Néron de E x ⊗ k k v au-dessus de O v soit constant isomorphe