UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

Conventions 13Théorème (« lemme formel ») — Soient k un corps de nombres et X une variété propre,lisse et géométriquement connexe sur k. Notons Ω l’ensemble des places de k et A k l’anneaude ses adèles. Soit U ⊂ X un ouvert, B ⊂ Br(U) un sous-groupe fini, S ⊂ Ω un sous-ensemblefini et (P v ) v∈Ω ∈ X(A k ) Br(X)∩B tel que P v ∈ U(k v ) pour tout v ∈ S. Alors il existe un ensemblefini S 1 ⊂ Ω contenant S et une famille (Q v ) v∈S1 ∈ ∏ v∈S 1U(k v ) tels que ∑ v∈S 1inv v A(Q v ) = 0pour tout A ∈ B et Q v = P v pour tout v ∈ S.Un autre outil auquel il sera souvent fait appel est le théorème des fonctions implicites ;nous entendons par là [58, Theorem 2, Ch. III, §9], qui s’applique sur tout corps munid’une valeur absolue pour laquelle il est complet.Enfin, si E et E ′ sont des courbes elliptiques sur un corps de nombres k et f : E → E ′ estune isogénie, on convient d’appeler groupe de f-Selmer de E, et de noter Sel f (k, E), le sousgroupede H 1 (k, f E) constitué des classes dont l’image dans H 1 (k v , E) est nulle pour touteplace v de k. Cette définition semble être la plus répandue, mais il y a lieu de la préciser carelle n’est pas standard ; certains auteurs nomment ce groupe le groupe de f-Selmer de E ′ (cequi se justifie par l’interprétation des éléments de H 1 (k, f E) comme des f-revêtements de E ′ ).